Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 41 стр.

пространства, уже не получится, так как в унитарных пространствах
(x, y) = (y, x) (комплексное сопряжение). Однако, если применить это
свойство, то придем к равенству:

                    (Av, Aw) + (Av, Aw) = (v, w) + (v, w),

откуда следует, что α = a. Чтобы получить равенство комплексных
частей, используем то, что согласно пункту 3), имеется равенство
(A(v + iw), A(v + iv)) = (v + iw, v + iw). Проделывая сначала те же
преобразования, что и выше, приходим к равенству:

                   (Av, iAw) + (iAw, Av) = (v, iw) + (iw, v).

Так как в унитарном пространстве (x, iy) = −i(x, y), (ix, y) = i(x, y), то
получаем:

              −i(Av, Aw) + i(Aw, Av) = −i(v, w) + i(w, v),

или
             −i((Av, Aw) − (Av, Aw)) = −i((v, w) − (v, w)),

то есть
                    (Av, Aw) − (Av, Aw) = (v, w) − (v, w).

Из этого равенства следует b = β. Таким образом, (Av, Aw) = α + iβ =
a + ib = (v, w).
   2) =⇒ 4). Пусть e1 , . . . , en — произвольный ортонормированный ба-
зис пространства V . Тогда, согласно пункту 2), (Aek , Aej ) = (ek , ej ),
то есть (Aek , Aej ) = 0 при k ̸= j, и (Aej , Aej ) = 1. Таким образом,
Ae1 , . . . , Aen — ортогональная система векторов в n-мерном простран-
стве V . Из ортогональности следует линейная независимость, а из того,
что количество векторов совпадает с размерностью пространства, сле-
дует то, что эта система векторов является базисом.

                                       41