Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4) =⇒ 1). Очевидно.
Теорема доказана.
Определение 5.1.1. Оператор, обладающий любым из эквивалент-
ных свойств, сформулированных в предыдущей теореме, называется
ортогональным в случае, если пространство V евклидово, или унитар-
ным, если пространство V унитарно (эрмитово).
Лемма 5.1.1. Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,
A, B — линейные операторы на V .
1) Если A и B ортогональны (унитарны), то их суперпозиция AB
также является ортогональным (унитарным) оператором.
2) Каждый ортогональный (унитарный) оператор A является невы-
рожденным (т.е. имеет обратный), причем оператор A
−1
также
является ортогональным (унитарным).
3) Тождественный оператор E является ортогональным (унитар-
ным).
Доказательство. Пункт 1) почти очевиден: достаточно рассмот-
реть некоторый ортонормированный базис e
1
, . . . , e
n
, перевести его в
ортонормированный базис Be
1
, . . . , Be
n
с помощью оператора B, а за-
тем этот ортнормированый базис перевести с помощью оператора A в
ортнормированный базис ABe
1
, . . . , ABe
n
. Требуемое утверждение вы-
текает из пункта 4) теоремы 5.1.1.
Любой оператор, переводящий базис в базис, является невырожден-
ным (обратимым). Если оператор A переводит ортонормированный ба-
зис e
1
, . . . , e
n
в ортонормированный базис Ae
1
, . . . , Ae
n
, то обратный
оператор переводит этот базис в базис e
1
, . . . , e
n
и, таким образом, са-
им является ортогональным согласно пункту 1) теоремы 5.1.1.
42
  4) =⇒ 1). Очевидно.
  Теорема доказана.

Определение 5.1.1. Оператор, обладающий любым из эквивалент-
ных свойств, сформулированных в предыдущей теореме, называется
ортогональным в случае, если пространство V евклидово, или унитар-
ным, если пространство V унитарно (эрмитово).

Лемма 5.1.1. Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,
A, B — линейные операторы на V .

 1) Если A и B ортогональны (унитарны), то их суперпозиция AB
    также является ортогональным (унитарным) оператором.

 2) Каждый ортогональный (унитарный) оператор A является невы-
    рожденным (т.е. имеет обратный), причем оператор A−1 также
    является ортогональным (унитарным).

 3) Тождественный оператор E является ортогональным (унитар-
    ным).

  Доказательство. Пункт 1) почти очевиден: достаточно рассмот-
реть некоторый ортонормированный базис e1 , . . . , en , перевести его в
ортонормированный базис Be1 , . . . , Ben с помощью оператора B, а за-
тем этот ортнормированый базис перевести с помощью оператора A в
ортнормированный базис ABe1 , . . . , ABen . Требуемое утверждение вы-
текает из пункта 4) теоремы 5.1.1.
  Любой оператор, переводящий базис в базис, является невырожден-
ным (обратимым). Если оператор A переводит ортонормированный ба-
зис e1 , . . . , en в ортонормированный базис Ae1 , . . . , Aen , то обратный
оператор переводит этот базис в базис e1 , . . . , en и, таким образом, са-
им является ортогональным согласно пункту 1) теоремы 5.1.1.

                                     42

Страницы