Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
т
By.
В случае, когда K есть поле комплексных чисел, и форма β полутора-
линейна, имеет место равенство β(v, w) = x
т
By, где y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
,
и черта обозначает комплексное сопряжение.
Если β(v, w) = (v, w) в евклидовом или унитарном пространстве, и
базис e
1
, . . . , e
n
выбран ортонормированным, то матрица формы стано-
вится единичной, и в этом случае (v, w) = x
т
y =
n
i=1
x
i
y
i
для евклидова
пространства, и (v, w) = x
т
y =
n
i=1
x
i
y
i
для унитарного пространства.
Теорема 5.1.3. Пусть A : V → V — линейный оператор в евкли-
довом или унитарном пространстве, и пусть A есть матрица этого
оператора в некотором ортонормированном базисе.
1) Оператор A в евклидовом пространстве является ортогональ-
ным тогда и только тогда, если A
−1
= A
т
.
2) Оператор A в унитарном пространстве является унитарным
тогда и только тогда, если A
−1
= A
т
.
Здесь A есть матрица, i, j- й элемент которой есть a
i,j
, где a
i,j
есть
i, j-й элемент матрицы A. Черта означает комплексное сопряжение.
Доказательство. Рассмотрим подробно унитарный случай. Пусть
v =
n
j=1
x
j
e
j
, w =
n
k=1
y
k
e
k
, где e
1
, . . . , e
n
— ортонормированный ба-
зис. Пусть A есть матрица оператора A в этом базисе. Положим x =
(x
1
, . . . , x
n
)
т
, y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
. Тогда столбец Ax состоит из коорди-
нат вектора Av, а столбец Ay — из координат вектора Aw в базисе
e
1
, . . . , e
n
(теорема 1.2.2, выпуск I данного курса лекций). Для любых
v, w, а значит, для всех столбцов x, y справедливы равенства:
(v, w) =
n
j=1
x
j
y
j
= x
т
y = (Av, Aw) = (Ax)
т
(Ay) = x
т
(A
т
A)y.
44
xт By.
  В случае, когда K есть поле комплексных чисел, и форма β полутора-
линейна, имеет место равенство β(v, w) = xт By, где y = (y , . . . , y )т ,
                                                                      1       n

и черта обозначает комплексное сопряжение.
   Если β(v, w) = (v, w) в евклидовом или унитарном пространстве, и
базис e1 , . . . , en выбран ортонормированным, то матрица формы стано-
                                                    ∑n
вится единичной, и в этом случае (v, w) = xт y =       x y для евклидова
                                                                i i
                                                          i=1
                          т    ∑
                               n
пространства, и (v, w) = x y =   xi y i для унитарного пространства.
                                     i=1

Теорема 5.1.3. Пусть A : V → V — линейный оператор в евкли-
довом или унитарном пространстве, и пусть A есть матрица этого
оператора в некотором ортонормированном базисе.

 1) Оператор A в евклидовом пространстве является ортогональ-
    ным тогда и только тогда, если A−1 = Aт .

 2) Оператор A в унитарном пространстве является унитарным
                                      т
    тогда и только тогда, если A−1 = A .

   Здесь A есть матрица, i, j-й элемент которой есть ai,j , где ai,j есть
i, j-й элемент матрицы A. Черта означает комплексное сопряжение.
  Доказательство. Рассмотрим подробно унитарный случай. Пусть
    ∑
    n             ∑
                  n
v =   xj ej , w =   yk ek , где e1 , . . . , en — ортонормированный ба-
      j=1                k=1
зис. Пусть A есть матрица оператора A в этом базисе. Положим x =
(x1 , . . . , xn )т , y = (y1 , . . . , yn )т . Тогда столбец Ax состоит из коорди-
нат вектора Av, а столбец Ay — из координат вектора Aw в базисе
e1 , . . . , en (теорема 1.2.2, выпуск I данного курса лекций). Для любых
v, w, а значит, для всех столбцов x, y справедливы равенства:
                ∑
                n
     (v, w) =         xj y j = xт y = (Av, Aw) = (Ax)т (Ay) = xт (Aт A)y.
                j=1

                                           44

Страницы