Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим временно через B матрицу A
т
A, и выясним, что следует
из того, что x
т
By = x
т
y для любых x и y. Пусть x есть столбец, в
j-й строке которого стоит единица, а во всех остальных строках нули,
а y есть столбец, в k-й строке которого располагается единица, а все
остальные компоненты нулевые. Тогда y = y, x
т
y = δ
j,k
(символ Кро-
некера), а x
т
By есть j, k-й элемент матрицы B. Таким образом, j, k-й
элемент матрицы A
т
A равен δ
j,k
для всех j , k. Но это означает, что
A
т
A = E — единичная матрица. Транспонируя, получим A
т
A = E.
Отсюда следует, что A
−1
= A
т
.
Обратно, пусть A — матрица оператора A в ортонормированном
базисе, и A
−1
= A
т
. Приведенные выше рассуждения легко прово-
дятся в обратном направлении. Из A
−1
= A
т
получаем A
т
A = E,
и, транспонируя, приходим к равенству: A
т
A = E. Отсюда следу-
ет, что для любых столбцов x, y (а значит, для всех векторов v, w)
имеется равенство: x
т
(A
т
A)y = x
т
Ey = x
т
y. Так как x
т
y = (v, w),
x
т
(A
т
A)y = (Ax)
т
Ay = (Av, Aw). Таким образом, получено равенство
(v, w) = (Av, Aw), и оператор A является унитарным.
Случай ортогональных операторов рассматривается совершенно ана-
логично, надо лишь учесть то, что комплексного сопряжения в этом
случае нет.
Определение 5.1.2. Матрица A ∈ GL
n
(R) называется ортогональ-
ной, если A
−1
= A
т
. Матрица A ∈ GL
n
(C) называется унитарной, если
A
−1
= A
т
.
Множество ортогональных матриц n-го порядка обозначается через
O(n). Это подгруппа группы GL
n
(R), называемая ортогональной груп-
пой n-го порядка, изоморфная группе O(V ). Важное значение имеет
подгруппа SO(n) группы O(n), состоящая из ортогональных матриц
45
Обозначим временно через B матрицу Aт A, и выясним, что следует
из того, что xт By = xт y для любых x и y. Пусть x есть столбец, в
j-й строке которого стоит единица, а во всех остальных строках нули,
а y есть столбец, в k-й строке которого располагается единица, а все
остальные компоненты нулевые. Тогда y = y, xт y = δj,k (символ Кро-
некера), а xт By есть j, k-й элемент матрицы B. Таким образом, j, k-й
элемент матрицы Aт A равен δj,k для всех j, k. Но это означает, что
                                                          т
Aт A = E — единичная матрица. Транспонируя, получим A A = E.
                           т
Отсюда следует, что A−1 = A .
   Обратно, пусть A — матрица оператора A в ортонормированном
                   т
базисе, и A−1 = A . Приведенные выше рассуждения легко прово-
                                          т          т
дятся в обратном направлении. Из A−1 = A получаем A A = E,
и, транспонируя, приходим к равенству: Aт A = E. Отсюда следу-
ет, что для любых столбцов x, y (а значит, для всех векторов v, w)
имеется равенство: xт (Aт A)y = xт Ey = xт y. Так как xт y = (v, w),
xт (Aт A)y = (Ax)т Ay = (Av, Aw). Таким образом, получено равенство
(v, w) = (Av, Aw), и оператор A является унитарным.
  Случай ортогональных операторов рассматривается совершенно ана-
логично, надо лишь учесть то, что комплексного сопряжения в этом
случае нет.


Определение 5.1.2. Матрица A ∈ GLn (R) называется ортогональ-
ной, если A−1 = Aт . Матрица A ∈ GLn (C) называется унитарной, если
        т
A−1 = A .

  Множество ортогональных матриц n-го порядка обозначается через
O(n). Это подгруппа группы GLn (R), называемая ортогональной груп-
пой n-го порядка, изоморфная группе O(V ). Важное значение имеет
подгруппа SO(n) группы O(n), состоящая из ортогональных матриц

                                 45

Страницы