Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

с единичным определителем (специальная ортогональная группа).
Множество унитарных матриц n-го порядка обозначается через
U(n). Это подгруппа группы GL
n
(C), изоморфная группе U(V ). Она
называется унитарной группой n-го порядка. Ее подгруппа, состоящая
из всех унитарных матриц с единичным определителем, обозначается
через SU(n) и называется специальной унитарной группой.
В поле K = R можно также определить сопряжение полагая α = α
для каждого α ∈ R. Вввиду этого можно для любой матрицы A с дей-
ствительными или комплексными компонентами определить сопряжен-
ную к ней матрицу A
∗
, полагая A
∗
= A
т
. В случае, когда компоненты
A действительны, это означает, что A
∗
= A
т
.
Ортогональную (или унитарную) матрицу A можно, таким образом,
охарактеризовать тем, что A
−1
= A
∗
.
Для любых матриц A и B имеют место равенства: (AB)
∗
= B
∗
A
∗
,
(A
∗
)
∗
= A. Это следует из известного равенства (AB)
т
= B
т
A
т
и из
очевидного (или легко проверяемого) равенства AB = A B.
Лемма 5.1.2. 1) Пусть V — евклидово пространство размернос-
ти n. Ортогональные n × n-матрицы, и только они, являются
матрицами перехода от одного ортонормированного базиса V к
другому ортонормированному базису.
2) Пусть V — унитарное пространство размерности n. Унитарные
n × n-матрицы, и только они, являются матрицами перехода от
одного ортонормированного базиса V к другому ортонормирован-
ному базису.
Доказательство. Пусть e
1
, . . . , e
n
— некоторый базис. Задать
матрицу перехода к базису e
′
1
, . . . , e
′
n
, т.е. задать соотношения e
′
j
=
n
∑
k=1
a
k,j
e
k
— это то же самое, что задать линейный оператор A, опреде-
46
с единичным определителем (специальная ортогональная группа).
  Множество унитарных матриц n-го порядка обозначается через
U(n). Это подгруппа группы GLn (C), изоморфная группе U(V ). Она
называется унитарной группой n-го порядка. Ее подгруппа, состоящая
из всех унитарных матриц с единичным определителем, обозначается
через SU(n) и называется специальной унитарной группой.
  В поле K = R можно также определить сопряжение полагая α = α
для каждого α ∈ R. Вввиду этого можно для любой матрицы A с дей-
ствительными или комплексными компонентами определить сопряжен-
                                      т
ную к ней матрицу A∗ , полагая A∗ = A . В случае, когда компоненты
A действительны, это означает, что A∗ = Aт .
  Ортогональную (или унитарную) матрицу A можно, таким образом,
охарактеризовать тем, что A−1 = A∗ .
  Для любых матриц A и B имеют место равенства: (AB)∗ = B ∗ A∗ ,
(A∗ )∗ = A. Это следует из известного равенства (AB)т = B т Aт и из
очевидного (или легко проверяемого) равенства AB = A B.

Лемма 5.1.2.     1) Пусть V — евклидово пространство размернос-
      ти n. Ортогональные n × n-матрицы, и только они, являются
      матрицами перехода от одного ортонормированного базиса V к
      другому ортонормированному базису.

 2) Пусть V — унитарное пространство размерности n. Унитарные
      n × n-матрицы, и только они, являются матрицами перехода от
      одного ортонормированного базиса V к другому ортонормирован-
      ному базису.

  Доказательство.         Пусть e1 , . . . , en — некоторый базис. Задать
матрицу перехода к базису e′1 , . . . , e′n , т.е. задать соотношения e′j =
∑n
   ak,j ek — это то же самое, что задать линейный оператор A, опреде-
k=1

                                    46

Страницы