Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

лив его на базисных элементах как Ae
j
=
n
∑
k=1
a
k,j
e
k
. Матрица перехода
A = (a
k,j
)
1≤k,j≤n
есть матрица оператора A в базисе e
1
, . . . , e
n
. Опера-
тор A является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, если
он переводит ортонормированный базис e
1
, . . . , e
n
в ортонормированный
базис e
′
1
= Ae
1
, . . . , e
′
n
= Ae
n
. Соответственно, матрица A будет мат-
рицей перехода от ортонормированного базиса к другому ортонормиро-
ванному базису тогда и только тогда, когда она есть матрица ортого-
нального (унитарного) оператора, то есть сама является ортогональной
(унитарной).
5.2. Сопряженные операторы
Определение 5.2.1. Пусть V — евклидово (или унитарное) простран-
ство, A : V → V — линейный оператор, e
1
, . . . , e
n
— некоторый орто-
нормированный базис V , A — матрица A в этом базисе. Оператор с
матрицей A
∗
в базисе e
1
, . . . , e
n
называется оператором, сопряженным
к A, и обозначается через A
∗
.
Лемма 5.2.1. Пусть e
′
1
, . . . , e
′
n
— любой другой ортонормированный
базис V , и A
′
— матрица A в этом базисе. Тогда матрицей A
∗
в
этом базисе будет матрица (A
′
)
∗
.
Иными словами, определение сопряженного оператора не зависит от
выбора ортонормированного базиса.
Доказательство. Пусть e
′
j
=
n
∑
k=1
c
k,j
e
k
. Тогда матрица C =
(c
k,j
)
1≤k,j≤n
является, как уже было показано выше, ортогональной (уни-
тарной). Таким образом, матрицей A в базисе e
′
1
, . . . , e
′
n
будет матрица
C
−1
AC = C
∗
AC, а матрицей оператора A
∗
в этом базисе будет матрица
C
−1
A
∗
C = C
∗
A
∗
C. Легко убедиться, что (C
∗
AC)
∗
= C
∗
A
∗
C.
47
                                                ∑
                                                n
лив его на базисных элементах как Aej =               ak,j ek . Матрица перехода
                                                k=1
A = (ak,j )1≤k,j≤n есть матрица оператора A в базисе e1 , . . . , en . Опера-
тор A является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, если
он переводит ортонормированный базис e1 , . . . , en в ортонормированный
базис e′1 = Ae1 , . . . , e′n = Aen . Соответственно, матрица A будет мат-
рицей перехода от ортонормированного базиса к другому ортонормиро-
ванному базису тогда и только тогда, когда она есть матрица ортого-
нального (унитарного) оператора, то есть сама является ортогональной
(унитарной).



                    5.2. Сопряженные операторы

Определение 5.2.1. Пусть V — евклидово (или унитарное) простран-
ство, A : V → V — линейный оператор, e1 , . . . , en — некоторый орто-
нормированный базис V , A — матрица A в этом базисе. Оператор с
матрицей A∗ в базисе e1 , . . . , en называется оператором, сопряженным
к A, и обозначается через A∗ .

Лемма 5.2.1. Пусть e′1 , . . . , e′n — любой другой ортонормированный
базис V , и A′ — матрица A в этом базисе. Тогда матрицей A∗ в
этом базисе будет матрица (A′ )∗ .

  Иными словами, определение сопряженного оператора не зависит от
выбора ортонормированного базиса.
                                          ∑
                                          n
  Доказательство.          Пусть e′j =          ck,j ek . Тогда матрица C =
                                          k=1
(ck,j )1≤k,j≤n является, как уже было показано выше, ортогональной (уни-
тарной). Таким образом, матрицей A в базисе e′1 , . . . , e′n будет матрица
C −1 AC = C ∗ AC, а матрицей оператора A∗ в этом базисе будет матрица
C −1 A∗ C = C ∗ A∗ C. Легко убедиться, что (C ∗ AC)∗ = C ∗ A∗ C.

                                     47

Страницы