Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

остальных строках нули, а y есть столбец, в k-й строке которого распо-
лагается единица, а все остальные компоненты нулевые. Тогда y = y,
x
т
A
т
y есть j, k-й элемент матрицы A
т
, а x
т
By есть j, k-й элемент мат-
рицы B. Так как индексы j, k могут принимать все возможные значения,
то получаем, что A
т
= B, или A
∗
= B, что и требовалось доказать.
5.3. Самосопряженные операторы
Определение 5.3.1. Линейный оператор в евклидовом (или унитар-
ном) пространстве называется самосопряженным, если A = A
∗
. Другое
название — эрмитов оператор. В случае евклидова пространства опе-
ратор со свойством A = A
∗
называется также симметрическим.
Напомним, что матрица A с действительными компонентами назы-
вается симметрической, если A = A
т
. Если i, j-й элемент матрицы A
есть a
i,j
, то условие симметричности матрицы означает, что a
i,j
= a
j,i
для всех индексов i, j. В случае матриц с комплексными компонента-
ми матрица A называется эрмитовой, если A = A
∗
. Симметрические
матрицы можно считать частным случаем эрмитовых матриц. Эрми-
товость матрицы A означает, что a
i,j
= a
j,i
для всех индексов i, j. Черта
сверху, как обычно, обозначает комплексное сопряжение. В частности,
если i = j, то a
i,i
= a
i,i
. Это означает, что на главной диагонали у эр-
митовой матрицы должны находиться действительные числа. Если это
не так, то матрица автоматически не будет эрмитовой.
Лемма 5.3.1. Оператор A является симметрическим тогда и толь-
ко тогда, если его матрица в некотором (на самом деле — в любом)
ортонормированном базисе будет симметрической.
49
остальных строках нули, а y есть столбец, в k-й строке которого распо-
лагается единица, а все остальные компоненты нулевые. Тогда y = y,
xт Aт y есть j, k-й элемент матрицы Aт , а xт By есть j, k-й элемент мат-
рицы B. Так как индексы j, k могут принимать все возможные значения,
то получаем, что Aт = B, или A∗ = B, что и требовалось доказать.




                5.3. Самосопряженные операторы

Определение 5.3.1. Линейный оператор в евклидовом (или унитар-
ном) пространстве называется самосопряженным, если A = A∗ . Другое
название — эрмитов оператор. В случае евклидова пространства опе-
ратор со свойством A = A∗ называется также симметрическим.

   Напомним, что матрица A с действительными компонентами назы-
вается симметрической, если A = Aт . Если i, j-й элемент матрицы A
есть ai,j , то условие симметричности матрицы означает, что ai,j = aj,i
для всех индексов i, j. В случае матриц с комплексными компонента-
ми матрица A называется эрмитовой, если A = A∗ . Симметрические
матрицы можно считать частным случаем эрмитовых матриц. Эрми-
товость матрицы A означает, что ai,j = aj,i для всех индексов i, j. Черта
сверху, как обычно, обозначает комплексное сопряжение. В частности,
если i = j, то ai,i = ai,i . Это означает, что на главной диагонали у эр-
митовой матрицы должны находиться действительные числа. Если это
не так, то матрица автоматически не будет эрмитовой.

Лемма 5.3.1. Оператор A является симметрическим тогда и толь-
ко тогда, если его матрица в некотором (на самом деле — в любом)
ортонормированном базисе будет симметрической.


                                   49

Страницы