Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

шем систему уравнений (точнее — уже равенств) более подробно:
n
j=1
a
k,j
x
j
= zx
k
, k = 1, . . . , n.
Умножим k-е уравнение на x
k
, и просуммируем по k левые и правые
части полученных равенств:
n
k=1
n
j=1
a
k,j
x
j
x
k
= z
n
k=1
x
k
x
k
= z
n
k=1
|x
k
|
2
(5.3.1)
Заметим, что
n
k=1
x
k
x
k
есть действительное число, отличное от нуля
(так как не все x
k
равны нулю). Если теперь удастся доказать, что левая
часть (5.3.1) (обозначим ее через s) является действительным числом,
то действительным будет и z. Напомним, что число s будет действи-
тельным в том и только в том случае, если s = s. Поэтому необходимо
вычислить число, сопряженное к левой части (5.3.1).
Допустим, что пространство евклидово, и оператор A симметричес-
кий. Это значит, что все a
k,j
= a
j,k
действительны. Поэтому:
s =
n
k=1
n
j=1
a
k,j
x
j
x
k
=
n
k=1
n
j=1
a
k,j
x
j
x
k
=
n
j=1
n
k=1
a
j,k
x
k
x
j
= s.
Рассмотрим случай унитарного пространства, и эрмитова (т.е. самосо-
пряженного) оператора A. Это значит, что a
k,j
= a
j,k
для всех j и k.
Проделаем соответствующие вычисления:
s =
n
k=1
n
j=1
a
k,j
x
j
x
k
=
n
k=1
n
j=1
a
k,j
x
j
x
k
=
n
j=1
n
k=1
a
j,k
x
k
x
j
= s.
Таким образом, в обоих случаях корень характеристического многочле-
на является действительным числом.
Следствие 5.3.1. Пусть V — евклидово пространство, A : V → V
— симметрический линейный оператор. Тогда у оператора A сущест-
51
шем систему уравнений (точнее — уже равенств) более подробно:
                       ∑
                       n
                              ak,j xj = zxk ,       k = 1, . . . , n.
                       j=1

Умножим k-е уравнение на xk , и просуммируем по k левые и правые
части полученных равенств:
               ∑
               n ∑
                 n                            ∑
                                              n                 ∑
                                                                n
                             ak,j xj xk = z         xk xk = z           |xk |2          (5.3.1)
                k=1 j=1                       k=1               k=1

               ∑
               n
Заметим, что         xk xk есть действительное число, отличное от нуля
               k=1
(так как не все xk равны нулю). Если теперь удастся доказать, что левая
часть (5.3.1) (обозначим ее через s) является действительным числом,
то действительным будет и z. Напомним, что число s будет действи-
тельным в том и только в том случае, если s = s. Поэтому необходимо
вычислить число, сопряженное к левой части (5.3.1).
  Допустим, что пространство евклидово, и оператор A симметричес-
кий. Это значит, что все ak,j = aj,k действительны. Поэтому:
          ∑
          n ∑
            n                      ∑
                                   n ∑
                                     n                       ∑
                                                             n ∑
                                                               n
     s=             ak,j xj xk =              ak,j xj xk =                aj,k xk xj = s.
          k=1 j=1                  k=1 j=1                   j=1 k=1

Рассмотрим случай унитарного пространства, и эрмитова (т.е. самосо-
пряженного) оператора A. Это значит, что ak,j = aj,k для всех j и k.
Проделаем соответствующие вычисления:
          ∑
          n ∑
            n                      ∑
                                   n ∑
                                     n                       ∑
                                                             n ∑
                                                               n
     s=             ak,j xj xk =              ak,j xj xk =                aj,k xk xj = s.
          k=1 j=1                  k=1 j=1                   j=1 k=1

Таким образом, в обоих случаях корень характеристического многочле-
на является действительным числом.

Следствие 5.3.1. Пусть V — евклидово пространство, A : V → V
— симметрический линейный оператор. Тогда у оператора A сущест-

                                              51

Страницы