Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.3.2. Пусть A : V → V — самосопряженный оператор в
евклидовом или унитарном пространстве, λ
1
и λ
2
— два его различных
собственных значения (напомним, что они всегда действительны), v
1
и v
2
— соответствующие им собственные векторы. Тогда v
1
и v
2
ортогональны.
Доказательство. Так как оператор A является самосопряженным,
то (Av
1
, v
2
) = (v
1
, Av
2
). Но Av
1
= λ
1
v
1
, Av
2
= λ
2
v
2
. Тогда (Av
1
, v
2
) =
λ
1
(v
1
, v
2
), (v
1
, Av
2
) = λ
2
(v
1
, v
2
) (в унитарном случае (v
1
, Av
2
) = λ
2
(v
1
, v
2
),
но λ
2
— действительное число.) Таким образом, λ
1
(v
1
, v
2
) = λ
2
(v
1
, v
2
),
или (λ
1
− λ
2
)(v
1
, v
2
) = 0. Так как λ
1
̸= λ
2
, то отсюда следует, что
(v
1
, v
2
) = 0.
Лемма 5.3.3. Пусть V — евклидово (или унитарное) пространство,
A : V → V — линейный оператор, U ⊆ V — инвариантное относи-
тельно A подпространство. Тогда его ортогональное дополнение U
⊥
инвариантно относительно оператора A
∗
.
Доказательство. Пусть w ∈ U
⊥
, это означает, что (u, w) = 0 для
каждого u ∈ U. Тогда
(u, A
∗
w) = (Au, w) = 0,
так как Au ∈ U. Таким образом, A
∗
u ∈ U
⊥
.
Лемма 5.3.4. Пусть A : V → V — произвольный невырожденный ли-
нейный оператор (биективное отображение), dim(V ) < ∞, и подпро-
странство U инвариантно относительно A. Тогда подпространство
U инвариантно и относительно A
−1
. Ограничение A
−1
на U есть опе-
ратор, обратный к ограничению A на U.
Доказательство. Ограничение A на U есть инъективный линей-
ный оператор на конечномерном пространстве. По теореме 1.3.7 (выпуск
53
Теорема 5.3.2. Пусть A : V → V — самосопряженный оператор в
евклидовом или унитарном пространстве, λ1 и λ2 — два его различных
собственных значения (напомним, что они всегда действительны), v1
и v2 — соответствующие им собственные векторы. Тогда v1 и v2
ортогональны.

   Доказательство. Так как оператор A является самосопряженным,
то (Av1 , v2 ) = (v1 , Av2 ). Но Av1 = λ1 v1 , Av2 = λ2 v2 . Тогда (Av1 , v2 ) =
λ1 (v1 , v2 ), (v1 , Av2 ) = λ2 (v1 , v2 ) (в унитарном случае (v1 , Av2 ) = λ2 (v1 , v2 ),
но λ2 — действительное число.) Таким образом, λ1 (v1 , v2 ) = λ2 (v1 , v2 ),
или (λ1 − λ2 )(v1 , v2 ) = 0. Так как λ1 ̸= λ2 , то отсюда следует, что
(v1 , v2 ) = 0.

Лемма 5.3.3. Пусть V — евклидово (или унитарное) пространство,
A : V → V — линейный оператор, U ⊆ V — инвариантное относи-
тельно A подпространство. Тогда его ортогональное дополнение U ⊥
инвариантно относительно оператора A∗ .

   Доказательство. Пусть w ∈ U ⊥ , это означает, что (u, w) = 0 для
каждого u ∈ U . Тогда

                              (u, A∗ w) = (Au, w) = 0,

так как Au ∈ U . Таким образом, A∗ u ∈ U ⊥ .

Лемма 5.3.4. Пусть A : V → V — произвольный невырожденный ли-
нейный оператор (биективное отображение), dim(V ) < ∞, и подпро-
странство U инвариантно относительно A. Тогда подпространство
U инвариантно и относительно A−1 . Ограничение A−1 на U есть опе-
ратор, обратный к ограничению A на U .

   Доказательство. Ограничение A на U есть инъективный линей-
ный оператор на конечномерном пространстве. По теореме 1.3.7 (выпуск

                                            53

Страницы