Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 54 стр.

I данного курса лекций) этот оператор обязан быть биективным. В част-
ности, он сюръективен. Поэтому произвольный u ∈ U можно записать
в виде u = Au′ , где u′ ∈ U . Поэтому A−1 u = u′ ∈ U . Это доказывает
инвариантность U относительно A−1 . Последнее утверждение леммы
очевидно.

Теорема 5.3.3. Пусть V — евклидово или унитарное пространство,
A : V → V — ортогональный или унитарный оператор, U — инвари-
антное относительно A подпространство. Тогда подпространство
U ⊥ также будет инвариантно относительно A.

  Доказательство. Как уже было показано, U ⊥ инвариантно отно-
сительно A∗ . Но по условию A∗ = A−1 . Следовательно по предыдущей
лемме U ⊥ инвариантно относительно (A−1 )−1 = A.



                  5.4. Нормальные операторы

Определение 5.4.1. Пусть V — унитарное (или евклидово) простран-
ство. Оператор A : V → V называется нормальным, если A∗ A = AA∗ .

Пример 5.4.1. Легко проверяется, что ортогональные, унитарные и
самосопряженные операторы являются нормальными. Однако сущест-
вуют нормальные операторы, не являющиеся ни ортогональными, ни
унитарными, ни самосопряженными. Например, оператор с матрицей
(в некотором ортонормированном   базисе):
                                           
                          2i 0   0 ··· 0
                                            
                        0 2     0 ··· 0 
                                            
                                            
                        0 0     1 ··· 0 
                        . .     .. . . . .. 
                        .. ..             . 
                                 .          
                          0 0    0 ··· 1

                                 54