Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 55 стр.

не является ни унитарным, ни самосопряженным, но тем не менее яв-
ляется нормальным.

  Сформулируем теперь в явном виде несколько очевидных утвержде-
ний, о которых надо постоянно помнить.

Лемма 5.4.1. Пусть V — евклидово (или унитарное) пространство,
U ⊆ V — его подпространство. Тогда U также является евклидовым
(или унитарным).
  Пусть A : V → V — линейный оператор, и U — его инвариантное
подпространство. Если A является ортогональным, унитарным или
самосопряженным, то таков же и оператор, являющийся ограниче-
нием A на подпространство U .
  Пусть A : V → V — линейный оператор в евклидовом или уни-
тарном пространстве V , и U — его инвариантное подпространство,
инвариантное также относительно A∗ . Если A является нормальным
оператором, то таков же и оператор, являющийся ограничением A
на подпространство U .

  Доказательство. В случае нормального оператора речь идет о
том, что для каждого вектора u ∈ U справедливо равенство: AA∗ u =
A∗ Au, причем и левая, и правая части принадлежат подпространству
U . Но при сделанных предположениях это очевидно.

Лемма 5.4.2. Пусть A : V → V — нормальный оператор, λ — его
собственное значение, и v ∈ V — соответствующий ему собственный
вектор. Тогда λ будет собственным значением оператора A∗ , причем
соответствующим ему собственным вектором будет вектор v.

  Иными словами, если Av = λv, то A∗ v = λv.
  Доказательство. Заметим сначала, что если оператор A является
нормальным, то нормальным будет также оператор A − λE для произ-

                                55