Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 56 стр.

вольного λ. В самом деле, (A − λE)∗ = A∗ − λE (чтобы это проверить,
достаточно вычислить матрицу (A−λE)∗ в некотором ортонормирован-
ном базисе). Теперь

             (A − λE)(A − λE)∗ = AA∗ − λA − λA∗ + λλE,
             (A − λE)∗ (A − λE) = A∗ A − λA − λA∗ + λλE,
так что при AA∗ = A∗ A получим требуемое равенство.
  Пусть v — любой вектор. Тогда

 ∥ Av ∥2 = (Av, Av) = (v, A∗ Av) = (v, AA∗ v) = (A∗ v, A∗ v) =∥ A∗ v ∥2 .

Поскольку нормы — неотрицательные числа, то ∥ Av ∥=∥ A∗ v ∥. Под-
ставив вместо нормального оператора A нормальный оператор A − λE,
получим равенство:
∥ (A − λE)v ∥=∥ (A − λE)∗ v ∥, то есть

                       ∥ Av − λv ∥=∥ A∗ v − λv ∥

Если теперь Av = λv, то ∥ A∗ v − λv ∥= 0. Из свойств нормы следует,
что A∗ v − λv = 0, а это и требовалось доказать.
  Из этой леммы следует, что если v — собственный вектор нормаль-
ного оператора A, то подпространство ⟨v⟩ будет инвариантным и отно-
сительно A, и относительно A∗ .

Теорема 5.4.1. Пусть V — евклидово или унитарное пространст-
во, A : V → V — линейный оператор. Допустим, что существу-
ет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов
оператора A. Тогда A — нормальный оператор, причем его характе-
ристический многочлен раскладывается на линейные множители (над
полем R в евклидовом случае, и над C в унитарном). Обратно, пусть
A является нормальным, и его характеристический многочлен рас-
кладывается на линейные множители над соответствующим полем.

                                    56