Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 58 стр.

векторов оператора A. Но

                           V = V λ ⊕ (V λ )⊥ ,

а в подпространстве V λ любой базис состоит из собственных векторов
A. Выберем ортонормированный базис V λ . Добавляя к нему ортонорми-
рованный базис подпространства (V λ )⊥ , состоящий из собственных век-
торов A, получим искомый ортонормированный базис всего простран-
ства V .

Следствие 5.4.1. Пусть V — евклидово пространство, A : V → V
— самосопряженный (т.е. симметрический) линейный оператор. Тог-
да в пространстве V существует ортонормированный базис, состо-
ящий из собственных векторов оператора A.

  В частности, это означает, что для любой симметрической матрицы
A с действительными компонентами найдется ортогональная матрица
B такая, что B т AB — диагональная матрица.

Следствие 5.4.2. Пусть V — унитарное пространство, A : V →
V — самосопряженный (эрмитов) линейный оператор. Тогда в про-
странстве V существует ортонормированный базис, состоящий из
собственных векторов оператора A.

  В частности, это означает, что для любой эрмитовой матрицы A =
A∗ найдется унитарная матрица B такая, что B т AB — диагональная
матрица, причем на диагонали стоят действительные числа.

Следствие 5.4.3. Пусть V — унитарное пространство, A : V → V
— унитарный линейный оператор. Тогда в пространстве V сущест-
вует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов
оператора A.

                                   58