Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 60 стр.

                               ∑
                               n ∑
                                 n
                      q(v) =             bi,j xi xj = xт Bx.
                               i=1 j=1
  Рассматривая билинейные и квадратичные формы в евклидовых про-
странствах, предполагают обычно, что базис e1 , . . . , en является ор-
тонормированным. Пусть e′1 , . . . , e′n — другой ортонормированный ба-
зис, и C — матрица перехода от первого базиса ко второму. Тогда
матрицей квадратичной формы q в базисе e′1 , . . . , e′n будет матрица
C т BC = C −1 BC. Отсюда следует, что наборы собственных значений
матриц B и C т BC совпадают, и, таким образом, эти собственные зна-
чения зависят только от самой формы, но не от базиса, в котором вы-
числена матрица формы.
Теорема 5.5.1. Допустим, что пространство евклидово, и пусть
λ1 , . . . , λn — все собственные значения матрицы B квадратичной фор-
мы q (с учетом их кратностей). Тогда существует ортонормирован-
                                                                 ∑
                                                                 n
ный базис e′1 , . . . , e′n пространства V , такой, что если v =   zi e′i , то
                                                                  i=1
                                         ∑
                                         n
                               q(v) =          λi zi2 .
                                         i=1
  Эта теорема называется теоремой о приведении квадратичной фор-
мы к главным осям.
  Доказательство. Матрица B квадартичной формы является сим-
метрической, и ее можно, таким образом, считать матрицей некоторого
нормального (самосопряженного) оператора в евклидовом пространст-
ве, вычисленной в ортонормированном базисе e1 , . . . , en . Согласно до-
казанной выше теореме о диагонализации нормальных операторов, су-
ществует ортонормированный базис e′1 , . . . , e′n пространства V , состоя-
щий из собственных векторов этого оператора. Если перейти к матрич-
ному языку, то все только что сказанной означает, что существует орто-
гональная матрица C (матрица перехода к ортонормированному базису

                                         60