Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В частности, это означает, что для любой унитарной матрицы A
найдется унитарная матрица B такая, что B
т
AB — диагональная мат-
рица, причем на диагонали стоят комплексные числа, по модулю равные
единице.
Заметим, что если λ
1
, . . . , λ
n
— произвольные комплексные числа,
равные по модулю единице, то матрица
λ
1
0 · · · 0
0 λ
2
· · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · λ
n
является унитарной.
5.5. Приведение квадратичных форм к главнымосям
Напомним, что существует взаимно-однозначное соответствие меж-
ду квадратичными формами и билинейными симметричными форамами
на пространстве V . Симметричной билинейной форме β : V × V → K
соответствует квадратичная форма q(v) = β(v, v). Обратно, по квад-
ратичной форме q строится симметричная билинейная форма β(v, w) =
1
2
(q(v + w) − q(v) − q(w)).
Выберем базис e
1
, . . . , e
n
в пространстве V , и пусть v =
n
i=1
x
i
e
i
,
w =
n
i=1
y
i
e
i
, x = (x
1
, . . . , x
n
)
т
, y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
. Положим b
i,j
= β(e
i
, e
j
),
и пусть B — матрица с компонентами b
i,j
. Форма β является симмет-
рической (т.е. β(v, w) = β(w, v) для любых v, w) тогда и только тогда,
если симметрической является матрица B. При этом
β(v, w) =
n
i=1
n
j=1
b
i,j
x
i
y
j
= x
т
By,
59
  В частности, это означает, что для любой унитарной матрицы A
найдется унитарная матрица B такая, что B т AB — диагональная мат-
рица, причем на диагонали стоят комплексные числа, по модулю равные
единице.
  Заметим, что если λ1 , . . . , λn — произвольные комплексные числа,
равные по модулю единице, то               матрица
                                                            
                          λ                  0 ···      0
                        1                                   
                        0                  λ2 · · ·         
                                                       0    
                        .                   .. . . .   ..   
                        ..                   .          .   
                                                            
                           0                 0 · · · λn
является унитарной.




     5.5. Приведение квадратичных форм к главнымосям

  Напомним, что существует взаимно-однозначное соответствие меж-
ду квадратичными формами и билинейными симметричными форамами
на пространстве V . Симметричной билинейной форме β : V × V → K
соответствует квадратичная форма q(v) = β(v, v). Обратно, по квад-
ратичной форме q строится симметричная билинейная форма β(v, w) =
1 (q(v + w) − q(v) − q(w)).
2
                                                                ∑
                                                                n
   Выберем базис e1 , . . . , en в пространстве V , и пусть v =   xi ei ,
                                                                                        i=1
     ∑
     n
w=         yi ei , x = (x1 , . . . , xn )т , y = (y1 , . . . , yn )т . Положим bi,j = β(ei , ej ),
     i=1
и пусть B — матрица с компонентами bi,j . Форма β является симмет-
рической (т.е. β(v, w) = β(w, v) для любых v, w) тогда и только тогда,
если симметрической является матрица B. При этом
                                        ∑
                                        n ∑
                                          n
                           β(v, w) =               bi,j xi yj = xт By,
                                         i=1 j=1

                                                59

Страницы