Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 57 стр.

Тогда в пространстве V существует ортонормированный базис, со-
стоящий из собственных векторов оператора A (а это равносильно
тому, что матрица A оператора A приводится к диагональному виду
с помощью преобразования B ∗ AB, где B — некоторая ортогональная
или унитарная матрица).

   Доказательство.        Пусть существует ортонормированный базис
базис e1 , . . . , en , состоящий из собственных векторов оператора A. Та-
ким образом, для каждого i, 1 ≤ i ≤ n, имеется равенство Aei = λi ei .
В этом случае A∗ ei = λi ei , и легко проверяется, что AA∗ ei = A∗ Aei =
λi λi ei . Это означает, что AA∗ = A∗ A.
   Обратно, пусть A — нормальный оператор, и пусть λ — некоторое
его собственное значение. Ввиду предположения о разложении характе-
ристического многочлена на линейные множители существуют и соб-
ственные значения, и соответствующие им собственные векторы. Рас-
смотрим V λ = {v|Av = λv}. Согласно доказанной выше лемме, если
Av = λv, то A∗ v = λv. Это значит, что A∗ (V λ ) ⊆ V λ , т.е. V λ являет-
ся инвариантным подпространством и относительно A, и относительно
A∗ .
   По лемме 5.3.3 подпространство (V λ )⊥ также является инвариант-
ным относительно A. Но так как V λ инвариантно и относительно A∗ ,
то подпространство (V λ )⊥ также инвариантно относительно A∗ . Таким
образом, ограничение оператора A на (V λ )⊥ есть нормальный оператор.
   Теперь можно провести индукцию по n = dim(V ). В случае n = 1
все очевидно (см. пример 1.1.6 в выпуске I). При n > 1 выбираем под-
пространство V λ и рассматриваем ограничение A на подпространство
(V λ )⊥ , размерность которого строго меньше n. Этот оператор является
нормальным, и для него справедливо предположение индукции. Таким
образом, в (V λ )⊥ существует ортонормированный базис из собственных

                                    57