Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
′
1
, . . . , e
′
n
) такая, что C
−1
BC = C
т
BC является диагональной матри-
цей, на диагонали которой расположены собственные значения B, при-
чем каждое встречается столько раз, какова кратность этого числа как
корня характеристического многочлена матрицы B. Если v =
n
i=1
z
i
e
′
i
, и
z = (z
1
, . . . , z
n
)
т
, то значение квадратичной формы от v в новом базисе
есть
q(v) = z
т
C
т
BCz =
=
z
1
z
2
. . . z
n
λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
n
z
1
z
2
.
.
.
z
n
=
n
i=1
λ
i
z
2
i
.
5.6. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора
В этом параграфе будет показано, к какому простейшему виду мож-
но привести матрицы ортогональных операторов. В отличие от других
нормальных операторов диагональных матриц здесь не получается.
Положим
A(φ) =
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
Рассмотрим двумерное евклидово пространство R
2
с ортонормирован-
ным базисом e
1
= (1, 0)
т
, e
2
= (0, 1)
т
. Геометрически это просто плос-
кость. Легко проверяется, что линейный оператор, матрица которого в
этом базисе есть A(φ), действует следующим образом: каждый вектор
поворачивается на угол φ против часовой стрелки.
Заметим, что оператор с матрицей A(φ) (в ортонормированном ба-
зисе) является ортогональным, и при φ ̸= 0, π у него нет собственных
значений (а значит, и собственных векторов).
61
e′1 , . . . , e′n ) такая, что C −1 BC = C т BC является диагональной матри-
цей, на диагонали которой расположены собственные значения B, при-
чем каждое встречается столько раз, какова кратность этого числа как
                                                                  ∑n
корня характеристического многочлена матрицы B. Если v =              zi e′i , и
                                                                  i=1
z = (z , . . . , z )т , то значение квадратичной формы от v в новом базисе
       1       n

есть
   q(v) = z т C т BCz =
                                                                       
                                         λ1 0 . . .       0         z1
                                                                       
               (                   )                                    ∑
                                        0 λ2 . . .       0       z2       n
           =       z1 z2   . . . zn     .. .. . . .      ..       ..    =   λi zi2 .
                                         . .              .        .    i=1
                                                                       
                                         0        0 . . . λn        zn




5.6. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора

   В этом параграфе будет показано, к какому простейшему виду мож-
но привести матрицы ортогональных операторов. В отличие от других
нормальных операторов диагональных матриц здесь не получается.
   Положим                           (                         )
                                         cos φ − sin φ
                            A(φ) =
                                         sin φ        cos φ
Рассмотрим двумерное евклидово пространство R2 с ортонормирован-
ным базисом e1 = (1, 0)т , e2 = (0, 1)т . Геометрически это просто плос-
кость. Легко проверяется, что линейный оператор, матрица которого в
этом базисе есть A(φ), действует следующим образом: каждый вектор
поворачивается на угол φ против часовой стрелки.
   Заметим, что оператор с матрицей A(φ) (в ортонормированном ба-
зисе) является ортогональным, и при φ ̸= 0, π у него нет собственных
значений (а значит, и собственных векторов).

                                             61

Страницы