Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 63 стр.

собственный вектор из W , отвечающий этому собственному значению,
был бы и собственным вектором A, отвечающим тому же собственно-
му значению. Но все такие собственные вектора должны содержаться в
подпространствах V1 и V2 , которые имеют с W нулевое пересечение.
  Таким образом, у ограничения A на W нет одномерных инвариант-
ных подпространств. Индукцией по m = dim(W ) покажем, что W есть
прямая сумма двумерных инвариантных (относительно ограничения A
на W , а значит, и относительно самого A) подпространств. По теоре-
ме 1.5.3 (выпуск I) при отсутствии одномерных инвариантных подпро-
странств всегда существует двумерное инвариантное подпространство
W1 ⊆ W . Таким образом, при m = 2 наше утверждение справедливо. В
общем случае рассмотрим W2 = W1⊥ . Ввиду W = W1 ⊕ W ′ будем иметь
dim(W ′ ) < m. Подпространство W ′ инвариантно относительно ограни-
чения A на W , а значит, и относительно самого A, причем в нем нет
одномерных подпространств, инвариантных относительно A (ибо все
такие подпространства содержатся либо в V1 , либо в V2 ). Поэтому к W ′
применимо предположение индукции, т.е. W ′ = W2 ⊕ · · · ⊕ Wk , где все
подпространства Wj при 2 ≤ j ≤ k двумерны, взаимно ортогональны,
и инвариантны относительно A. Но тогда точно такими же свойства-
ми обладает и разложение W = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Таким образом,
получено разложение в прямую сумму попарно взаимно ортогональных
инвариантных относительно A подпространств:

                  V = V1 ⊕ V2 ⊕ W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk .

Выберем в каждом из этих инвариантных подпространств ортонорми-
рованный базис. Объединение этих базисов есть ортонормированный
базис V , и матрица оператора A в этом базисе будет иметь следующий



                                   63