Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

вид:
E
l
0 0 · · · 0
0 −E
r
0 · · · 0
0 0 A
1
· · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · A
k
Здесь l = dim(V
1
), матрица ограничения A на V
1
есть E
l
, r = dim(V
2
),
матрица ограничения A на V
2
есть −E
r
, и для каждого j, 1 ≤ j ≤ k,
матрица A
j
есть 2 × 2-матрица ограничения A на W
j
. Ограничение A
на W
j
есть ортогональный оператор. Остается показать, что для лю-
бого ортогонального оператора на двумерном пространстве (в котором
нет одномерных инвариантных подпространств!) и любого ортонорми-
рованного базиса в этом пространстве матрица оператора в этом базисе
будет иметь вид A(φ).
Итак, рассмотрим произвольную ортогональную матрицу
A =
(
a b
c d
)
Из условия A
т
= A
−1
следует AA
т
= E. Вычисляя определители левой
и правой частей этого равенства, получаем |A|
2
= 1, т.е. либо |A| = +1,
либо |A| = −1. При |A| = ad − bc = −1 многочлен |A − xE| = x
2
− (a +
d)x + (ad − bc) = x
2
− (a + d)x − 1 имеет два вещественных корня (т.к.
(a+d)
2
−4(−1) > 0). Но это противоречит предположению об отсутствии
одномерных инвариантных подпространств. Следовательно, |A| = ad −
bc = 1. Это позволяет вычислить по известным формулам матрицу A
−1
:
A
−1
=
(
d −b
−c a
)
64
вид:                                                 
                            El   0    0     ···   0
                                                      
                           0 −Er     0     ···    0 
                                                      
                                                      
                           0       0 A1    ··· 0 
                                                      
                           ..   ..    ..    . . . ... 
                            .    .     .              
                            0    0    0     · · · Ak
Здесь l = dim(V1 ), матрица ограничения A на V1 есть El , r = dim(V2 ),
матрица ограничения A на V2 есть −Er , и для каждого j, 1 ≤ j ≤ k,
матрица Aj есть 2 × 2-матрица ограничения A на Wj . Ограничение A
на Wj есть ортогональный оператор. Остается показать, что для лю-
бого ортогонального оператора на двумерном пространстве (в котором
нет одномерных инвариантных подпространств!) и любого ортонорми-
рованного базиса в этом пространстве матрица оператора в этом базисе
будет иметь вид A(φ).
  Итак, рассмотрим произвольную ортогональную матрицу
                             (      )
                               a b
                         A=
                               c d

Из условия Aт = A−1 следует AAт = E. Вычисляя определители левой
и правой частей этого равенства, получаем |A|2 = 1, т.е. либо |A| = +1,
либо |A| = −1. При |A| = ad − bc = −1 многочлен |A − xE| = x2 − (a +
d)x + (ad − bc) = x2 − (a + d)x − 1 имеет два вещественных корня (т.к.
(a+d)2 −4(−1) > 0). Но это противоречит предположению об отсутствии
одномерных инвариантных подпространств. Следовательно, |A| = ad −
bc = 1. Это позволяет вычислить по известным формулам матрицу A−1 :
                               (          )
                                    d  −b
                         A−1 =
                                  −c    a



                                     64

Страницы