Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 65 стр.

Теперь используем условие ортогональности: A−1 = Aт :
                      (         ) (        )
                          d −b        a c
                                  =
                        −c    a       b d
Отсюда получаем a = d, −b = c. Равенство ad − bc = 1 превращается
в a2 + c2 = 1. Полагая a = cos φ, c = sin φ для соответствующего φ,
получаем требуемое утверждение.
Следствие 5.6.1. В трехмерном евклидовом пространстве для каж-
дого неединичного (т.е. не равного E) ортогонального оператора с
определителем, равным единице, существует ортонормированный ба-
зис, в котором матрица оператора имеет вид:
                                       
                         1   0      0
                                       
                       0 cos φ − sin φ 
                                       
                         0 sin φ  cos φ
При этом 0 < φ < 2π.
  Доказательство. Характеристический многочлен ортогонального
оператора в трехмерном евклидовом пространстве имеет степень три,
и поэтому у него обязательно есть либо один действительный корень и
два комплексных сопряженных друг к другу корня, либо три действи-
тельных корня (с учетом возможных кратностей). Известно также, что
все собственные значения ортогонального оператора равны +1 или −1.
А это и есть действительные корни характеристического многочлена.
Случай, когда имеется один корень +1 кратности три, отпадает, так
как это случай тождественного (единичного) оператора. Случай, когда
есть корень +1 кратности два, и корень −1, отпадает, так как тогда
матрица оператора приводится к   виду
                                           
                            1    0      0
                                     
                          0     1 0
                                     
                            0    0 −1

                                  65