Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и ее определитель равен −1, что противоречит условию. Случай, когда
есть корень −1 кратности три, отпадает по этой же причине: определи-
тель равен −1. Случай, когда есть только один действительный корень
−1, означает, что матрица приведится к виду:
−1 0 0
0 cos φ − sin φ
0 sin φ cos φ
Снова видим, что определитель равен −1. Наконец, все оставшиеся слу-
чаи — это именно то, что утверждается в ф ормулировке следствия. В
частности, случай, когда есть корень −1 кратности два, и корень +1 —
это случай φ = π.
Это следствие означает, что в трехмерном евклидовом пространст-
ве каждый ортогональный оператор с единичным определителем дей-
ствует как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало
координат.
Заметим, что так как перестановка элементов ортонормированного
базиса приводит снова к ортонормированному базису, то матрицы из
формулировок предыдущей теоремы и ее следствия можно записывать
по-разному. Например, можно утверждать, что для любого неединично-
го ортогонального линейного оператора в трехмерном евклидовом про-
странстве, определитель которого равен единице, существует ортонор-
мированный базис, в котором матрица оператора имеет следующий вид:
cos φ − sin φ 0
sin φ cos φ 0
0 0 1
В общем случае условие (Av, Aw) = (v, w) означает, что ортогональ-
ные операторы сохраняют длины векторов и углы между ними. Усло-
вие равенства единице определителя означает, что данный линейный
66
и ее определитель равен −1, что противоречит условию. Случай, когда
есть корень −1 кратности три, отпадает по этой же причине: определи-
тель равен −1. Случай, когда есть только один действительный корень
−1, означает, что матрица приведится к виду:
                                          
                         −1    0      0
                                          
                        0 cos φ − sin φ 
                                          
                           0 sin φ   cos φ
Снова видим, что определитель равен −1. Наконец, все оставшиеся слу-
чаи — это именно то, что утверждается в формулировке следствия. В
частности, случай, когда есть корень −1 кратности два, и корень +1 —
это случай φ = π.
  Это следствие означает, что в трехмерном евклидовом пространст-
ве каждый ортогональный оператор с единичным определителем дей-
ствует как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало
координат.
  Заметим, что так как перестановка элементов ортонормированного
базиса приводит снова к ортонормированному базису, то матрицы из
формулировок предыдущей теоремы и ее следствия можно записывать
по-разному. Например, можно утверждать, что для любого неединично-
го ортогонального линейного оператора в трехмерном евклидовом про-
странстве, определитель которого равен единице, существует ортонор-
мированный базис, в котором матрица оператора имеет следующий вид:
                                         
                          cos φ − sin φ 0
                                         
                         sin φ   cos φ 0 
                                         
                            0      0    1
  В общем случае условие (Av, Aw) = (v, w) означает, что ортогональ-
ные операторы сохраняют длины векторов и углы между ними. Усло-
вие равенства единице определителя означает, что данный линейный

                                 66

Страницы