Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.6.1. Пусть A : V → V — ортогональный оператор в ев-
клидовом пространстве V . Существует ортонормированный базис, в
котором матрица A имеет вид:
E
l
0 0 · · · 0
0 −E
r
0 · · · 0
0 0 A(φ
1
) · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · A(φ
k
)
Здесь E
l
и E
r
— единичные матрицы, причем числа k, l, r могут быть
равны нулю.
Доказательство. Как уже известно, собственными значениями
оператора A в поле R могут быть только числа +1 и −1 (или оба, или
одно из них, или собственных чисел может не быть вообще). Обозначим
через V
1
подпространство V
λ
с λ = +1, и через V
2
— подпространство
V
λ
с λ = −1. Возможно, что либо одно из этих подпространств, либо да-
же оба они нулевые. Покажем, что в любом случае, если v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
,
то (v
1
, v
2
) = 0. По предположению, Av
1
= v
1
, Av
2
= −v
2
. Из ортого-
нальности оператора A следует, что (v
1
, v
2
) = (Av
1
, Av
2
) = (v
1
, −v
2
) =
−(v
1
, v
2
). Отсюда (v
1
, v
2
) = 0, а это означает, что сумма V
1
+ V
2
являет-
ся прямой. Рассмотрим W = (V
1
⊕ V
2
)
⊥
. Имеется разложение в прямую
сумму:
V = V
1
⊕ V
2
⊕ W,
причем подпространства V
1
, V
2
и W являются инвариантными относи-
тельно оператора A. Ограничение оператора A на W является ортого-
нальным оператором на W . У этого оператора, однако, нет собственных
значений и собственных векторов. В самом деле, если нашлось бы собст-
венное значение, то оно обязательно было бы равно +1 или −1, а тогда
62
Теорема 5.6.1. Пусть A : V → V — ортогональный оператор в ев-
клидовом пространстве V . Существует ортонормированный базис, в
котором матрица A имеет вид:
                                                        
                  El     0   0            ···     0
                                                        
                 0 −Er      0            ···     0      
                                                        
                                                        
                 0      0 A(φ1 )         ···     0      
                 .                                      
                 ..   ..    ..           ...     ..     
                       .     .                    .     
                   0     0   0            · · · A(φk )

Здесь El и Er — единичные матрицы, причем числа k, l, r могут быть
равны нулю.

  Доказательство.         Как уже известно, собственными значениями
оператора A в поле R могут быть только числа +1 и −1 (или оба, или
одно из них, или собственных чисел может не быть вообще). Обозначим
через V1 подпространство V λ с λ = +1, и через V2 — подпространство
V λ с λ = −1. Возможно, что либо одно из этих подпространств, либо да-
же оба они нулевые. Покажем, что в любом случае, если v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 ,
то (v1 , v2 ) = 0. По предположению, Av1 = v1 , Av2 = −v2 . Из ортого-
нальности оператора A следует, что (v1 , v2 ) = (Av1 , Av2 ) = (v1 , −v2 ) =
−(v1 , v2 ). Отсюда (v1 , v2 ) = 0, а это означает, что сумма V1 + V2 являет-
ся прямой. Рассмотрим W = (V1 ⊕ V2 )⊥ . Имеется разложение в прямую
сумму:
                             V = V1 ⊕ V2 ⊕ W,

причем подпространства V1 , V2 и W являются инвариантными относи-
тельно оператора A. Ограничение оператора A на W является ортого-
нальным оператором на W . У этого оператора, однако, нет собственных
значений и собственных векторов. В самом деле, если нашлось бы собст-
венное значение, то оно обязательно было бы равно +1 или −1, а тогда

                                     62

Страницы