Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 52 стр.

вует собственное значение в поле R, и собственный вектор в V , от-
вечающий этому собственному значению.

  Доказательство. Утверждение следует из теоремы, так как собст-
венные значения оператора — это корни его характеристического мно-
гочлена.
  Собственные значения ортогональных и унитарных операторов мо-
гут не быть действительными (точнее, у ортогональных операторов мо-
жет не существовать собственных значений в поле действительных чи-
сел). Вот что известно о собственных значениях унитарных и ортого-
нальных операторов.

Лемма 5.3.2. Пусть A : V → V — ортогональный оператор, и λ ∈ R
— некоторое его собственное значение. Тогда λ = ±1.
  Пусть A : V → V — унитарный оператор, и λ ∈ C — некоторое
его собственное значение. Тогда |λ| = 1.

  Доказательство. Пусть Av = λv, где v ̸= 0, и A∗ = A−1 . Отсюда,
в частности, следует, что λ ̸= 0 ( иначе было бы Av = 0, т.е. A —
не инъективное отображение). Умножая на A∗ левую и правую части
равенства Av = λv, получаем v = λA∗ v, или A∗ v = 1 v. Проделаем
                                                  λ
следующие вычисления:

           (Av, v) = λ(v, v), (Av, v) = (v, A∗ v) = (1/λ)(v, v).

В евклидовом случае получаем λ2 (v, v) = (v, v), и из (v, v) > 0 следует
λ2 = 1. В унитарном случае λλ(v, v) = (v, v), то есть |λ|2 = 1. Отсюда
следует утверждение леммы.

  Следующая теорема вытекает из более общих фактов, доказываемых
ниже, но полезно знать и ее формулировку, и ее (очень простое) дока-
зательство.

                                    52