Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 50 стр.

  Оператор A в унитарном пространстве является самосопряжен-
ным (эрмитовым) тогда и только тогда, если его матрица в неко-
тором (на самом деле — в любом) ортонормированном базисе будет
эрмитовой.

  Доказательство. Это следует из самого определения самосопря-
женного оператора. Если A — некоторый оператор, e1 , . . . , en — какой
угодно ортонормированный базис, и A — матрица оператора A в этом
базисе, то A∗ есть оператор с матрицей A∗ в том же базисе. Условие
A = A∗ равносильно тому, что A = A∗ . Равносильность следует из
установленного ранее взаимно-однозначного соответствия между мно-
жеством всех линейных операторов и множеством всех n × n-матриц
(при выбранном фиксированном базисе).

Теорема 5.3.1. Пусть A : V → V — линейный оператор.

 1) Пусть V — евклидово пространство, и A = A∗ . Тогда характе-
    ристический многочлен χA (x) раскладывается на линейные мно-
    жители над полем R.

 2) Пусть V — унитарное пространство, и A = A∗ . Тогда все собст-
    венные значения оператора A являются действительными числа-
    ми.

  Доказательство. Выберем какой-нибудь ортонормированный ба-
зис, и пусть A — матрица оператора A в этом базисе. Рассмотрим
произвольный корень z характеристического многочлена матрицы A.
Так как определитель |A − zE| равен нулю, существует ненулевое ре-
шение x = (x1 , . . . xn )т системы линейных неоднородных уравнений
(A − zE)x = 0. Числа xi будут, вообще говоря, комплексными. Запи-



                                  50