Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.2.1. Пусть V — евклидово (или унитарное) пространст-
во, A, B : V → V — линейные операторы. Эквивалентны следующие
утверждения:
1) B = A
∗
;
2) Для любых v, w ∈ V имеет место равенство:
(Av, w) = (v, Bw)
Таким образом, сопряженный к A оператор полностью определяется
условием:
(Av, w) = (v, A
∗
w)
для любых v, w ∈ V . При этом (A
∗
v, w) = (v, Aw).
Доказательство. Выберем некоторый ортнонормированный базис
e
1
, . . . , e
n
, и пусть Ae
j
=
n
∑
k=1
a
k,j
e
k
, Be
j
=
n
∑
k=1
b
k,j
e
k
, так что A и B —
матрицы операторов A и B соответственно. Рассмотрим v =
n
∑
j=1
x
j
e
j
,
w =
n
∑
j=1
y
j
e
j
, и пусть, как и выше, x и y есть столбцы из координат
векторов v и w. По теореме 1.2.2 столбец координат вектора Av есть
Ax, а столбец из координат Bw есть By. Вычислим (Av, w) и (v, Bw ).
(Av, w) = (Ax)
т
y = x
т
A
т
y, (v, Bw) = x
т
By = x
т
By (5.2.1)
Если B = A
∗
, то B = A
∗
= A
т
, B = A
т
, и из (5.2.1) следует (Av, w) =
(v, Bw), то есть 1)=⇒ 2).
Обратно, если (Av, w) = (v, Bw) для любых v и w, то из (5.2.1) полу-
чим, что
x
т
A
т
y = x
т
By
для произвольных столбцов x и y. Как и выше, рассмотрим случай,
когда x есть столбец, в j-й строке которого стоит единица, а во всех
48
Теорема 5.2.1. Пусть V — евклидово (или унитарное) пространст-
во, A, B : V → V — линейные операторы. Эквивалентны следующие
утверждения:

 1) B = A∗ ;

 2) Для любых v, w ∈ V имеет место равенство:

                                  (Av, w) = (v, Bw)

  Таким образом, сопряженный к A оператор полностью определяется
условием:
                             (Av, w) = (v, A∗ w)

для любых v, w ∈ V . При этом (A∗ v, w) = (v, Aw).
     Доказательство. Выберем некоторый ортнонормированный базис
                                ∑
                                n                 ∑
                                                  n
e1 , . . . , en , и пусть Aej =   ak,j ek , Bej =   bk,j ek , так что A и B —
                            k=1                 k=1
                                                                     ∑
                                                                     n
матрицы операторов A и B соответственно. Рассмотрим v =                   xj ej ,
                                                                    j=1
      ∑
      n
w =         yj ej , и пусть, как и выше, x и y есть столбцы из координат
      j=1
векторов v и w. По теореме 1.2.2 столбец координат вектора Av есть
Ax, а столбец из координат Bw есть By. Вычислим (Av, w) и (v, Bw).

      (Av, w) = (Ax)т y = xт Aт y, (v, Bw) = xт By = xт By            (5.2.1)
                           т
Если B = A∗ , то B = A∗ = A , B = Aт , и из (5.2.1) следует (Av, w) =
(v, Bw), то есть 1)=⇒ 2).
  Обратно, если (Av, w) = (v, Bw) для любых v и w, то из (5.2.1) полу-
чим, что
                              xт Aт y = xт By

для произвольных столбцов x и y. Как и выше, рассмотрим случай,
когда x есть столбец, в j-й строке которого стоит единица, а во всех

                                       48

Страницы