Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

То, что E является ортогональным (унитарным), очевидно: любой
ортонормированный базис переходит сам в себя.
Множество всех невырожденных (обратимых) линейных операторов
из V в V образует группу относительно операции суперпозиции опера-
торов. Эта группа обозначается через GL(V ). Пусть V — векторное
пространство размерности n над полем K. Множество всех невырож-
денных (обратимых) матриц n-го порядка над K образует группу отно-
сительно операции умножения матриц. Эта группа обозначается через
GL
n
(K), и называется общей линейной группой n-го порядка над K.
После выбора некоторого базиса в V соответствие A ↔ A = M
A
опре-
деляет изоморфизм групп GL(V ) и GL
n
(K). Это следует из свойств
матриц линейных операторов: M
AB
= M
A
M
B
и M
E
= E (единичная
матрица).
Теорема 5.1.2. Пусть V — евклидово пространство. Множество
O(V ) всех ортогональных операторов из V в V является группой от-
носительно операции суперпозиции. Группа O(V ) является подгруп-
пой группы GL(V ).
Пусть V — унитарное пространство. Множество U(V ) всех уни-
тарных операторов из V в V является группой относительно опера-
ции суперпозиции. Группа U(V ) является подгруппой группы GL(V ).
Доказательство. Непосредственное следствие предыдущей лем-
мы и определения подгруппы.
Напомним некоторые сведения о матрице билинейной формы. Если
β : V × V → K — любая билинейная форма, и e
1
, . . . , e
n
— некоторый
базис V , то элементы b
i,j
= β(e
i
, e
j
) образуют матрицу B, которая и
называется матрицей формы β. Если даны векторы v =
n
∑
i=1
x
i
e
i
, w =
n
∑
i=1
y
i
e
i
, и x = (x
1
, . . . , x
n
)
т
, y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
(это столбцы), то β(v, w) =
43
      То, что E является ортогональным (унитарным), очевидно: любой
ортонормированный базис переходит сам в себя.
      Множество всех невырожденных (обратимых) линейных операторов
из V в V образует группу относительно операции суперпозиции опера-
торов. Эта группа обозначается через GL(V ). Пусть V — векторное
пространство размерности n над полем K. Множество всех невырож-
денных (обратимых) матриц n-го порядка над K образует группу отно-
сительно операции умножения матриц. Эта группа обозначается через
GLn (K), и называется общей линейной группой n-го порядка над K.
После выбора некоторого базиса в V соответствие A ↔ A = MA опре-
деляет изоморфизм групп GL(V ) и GLn (K). Это следует из свойств
матриц линейных операторов: MAB = MA MB и ME = E (единичная
матрица).

Теорема 5.1.2. Пусть V — евклидово пространство. Множество
O(V ) всех ортогональных операторов из V в V является группой от-
носительно операции суперпозиции. Группа O(V ) является подгруп-
пой группы GL(V ).
      Пусть V — унитарное пространство. Множество U(V ) всех уни-
тарных операторов из V в V является группой относительно опера-
ции суперпозиции. Группа U(V ) является подгруппой группы GL(V ).

      Доказательство. Непосредственное следствие предыдущей лем-
мы и определения подгруппы.
      Напомним некоторые сведения о матрице билинейной формы. Если
β : V × V → K — любая билинейная форма, и e1 , . . . , en — некоторый
базис V , то элементы bi,j = β(ei , ej ) образуют матрицу B, которая и
                                                           ∑
                                                           n
называется матрицей формы β. Если даны векторы v =            xi ei , w =
                                                                             i=1
∑
n
      yi ei , и x = (x1 , . . . , xn )т , y = (y1 , . . . , yn )т (это столбцы), то β(v, w) =
i=1

                                              43

Страницы