Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В случае, если пространство является унитарным, вычисления не-
много изменятся:
(v, w) =
n
j=1
n
k=1
α
j
β
k
(e
j
, e
k
) =
n
j=1
α
j
β
j
.
Далее, Av =
n
j=1
α
j
Ae
j
, Aw =
n
k=1
β
k
Ae
k
,
(Av, Aw) =
n
j=1
n
k=1
α
j
β
k
(Ae
j
, Ae
k
) =
n
j=1
α
j
β
j
= (v, w).
2) =⇒ 3). Очевидно.
3) =⇒ 2). Рассмотрим отдельно случаи евклидова и унитарного про-
странства.
Пусть пространство евклидово. Согласно условию пункта 3), для лю-
бых v, w ∈ V имеет место равенство: (A(v +w), A(v+v)) = (v +w, v+w).
“Раскрывая скобки” (т.е. вычисляя скалярные произведения), получаем
следующее:
(Av, Av)+(Av, Aw)+(Aw, Av)+(Aw, A w) = (v, v)+(v, w)+(w, v)+(w, w).
Согласно условию пункта 3), (Av, Av) = (v, v), (Aw, Aw) = (w, w). От-
сюда получаем равенство:
(Av, Aw) + (Aw, Av) = (v, w) + (w, v).
Теперь надо вспомнить, что в евклидовом пространстве (x, y) = (y, x)
для любых векторов x, y ∈ V . Таким образом, 2(Av, Aw ) = 2(v, w),
откуда получаем искомое равенство (Av, Aw) = (v, w).
Рассмотрим случай унитарного пространства. Пусть (Av, Aw) =
α + iβ, (v, w) = a + ib, где α, β, a, b — действительные числа. Если вос-
произвести предыдущие выкладки, и получить равенство (Av, Aw) +
(Aw, Av) = (v, w) + (w, v), то рассуждать далее, как в случае евклидова
40
  В случае, если пространство является унитарным, вычисления не-
много изменятся:

                           ∑
                           n ∑
                             n                              ∑
                                                            n
                (v, w) =              αj β k (ej , ek ) =         αj β j .
                            j=1 k=1                         j=1
                ∑
                n                     ∑
                                      n
  Далее, Av =         αj Aej , Aw =         βk Aek ,
                j=1                   k=1

                       ∑
                       n ∑
                         n                               ∑
                                                         n
        (Av, Aw) =               αj β k (Aej , Aek ) =            αj β j = (v, w).
                       j=1 k=1                              j=1

  2) =⇒ 3). Очевидно.
  3) =⇒ 2). Рассмотрим отдельно случаи евклидова и унитарного про-
странства.
  Пусть пространство евклидово. Согласно условию пункта 3), для лю-
бых v, w ∈ V имеет место равенство: (A(v +w), A(v +v)) = (v +w, v +w).
“Раскрывая скобки” (т.е. вычисляя скалярные произведения), получаем
следующее:

(Av, Av)+(Av, Aw)+(Aw, Av)+(Aw, Aw) = (v, v)+(v, w)+(w, v)+(w, w).

Согласно условию пункта 3), (Av, Av) = (v, v), (Aw, Aw) = (w, w). От-
сюда получаем равенство:

                 (Av, Aw) + (Aw, Av) = (v, w) + (w, v).

Теперь надо вспомнить, что в евклидовом пространстве (x, y) = (y, x)
для любых векторов x, y ∈ V . Таким образом, 2(Av, Aw) = 2(v, w),
откуда получаем искомое равенство (Av, Aw) = (v, w).
  Рассмотрим случай унитарного пространства. Пусть (Av, Aw) =
α + iβ, (v, w) = a + ib, где α, β, a, b — действительные числа. Если вос-
произвести предыдущие выкладки, и получить равенство (Av, Aw) +
(Aw, Av) = (v, w) + (w, v), то рассуждать далее, как в случае евклидова

                                         40

Страницы