Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 34 стр.

Тогда

v = α′ v ′ + α′′ v ′′ = α′ v1′ + α′ v2′ + α′′ v1′′ + α′′ v2′′ = (α′ v1′ + α′′ v1′′ ) + (α′ v2′ + α′′ v2′′ ).

Так как α′ v1′ + α′′ v1′′ ∈ V1 , а α′ v2′ + α′′ v2′′ ∈ V2 , то из v = v1 + v2 и из
единственности такой записи следует, что

                          v1 = α′ v1′ + α′′ v1′′ ,           v2 = α′ v2′ + α′′ v2′′ .

Используя обозначения для проекций π1 и π2 , и учитывая, что π1 (v ′ ) =
v1′ , π1 (v ′′ ) = v1′′ , π2 (v ′ ) = v2′ , π2 (v ′′ ) = v2′′ , это можно переписать в следую-
щем виде:

π1 (α′ v ′ +α′′ v ′′ ) = α′ π1 (v ′ )+α′′ π1 (v ′′ ),         π2 (α′ v ′ +α′′ v ′′ ) = α′ π2 (v ′ )+α′′ π2 (v ′′ ).

Но это и означает, что π1 и π2 — линейные отображения.

Определение 4.4.1. Пусть V — еклидово или униатрное векторное
пространство, v ∈ V , и U ⊆ V — подпространство пространства V .
Рассмотрим разложние в прямую сумму V = U ⊕ U ⊥ , и пусть v = u + w,
где u ∈ U — проекция v на U , а w ∈ U ⊥ — проекция v на U ⊥ . Величина
(действительное неотрицательное число) ∥w∥ называется расстоянием
от вектора v до подпространства U .

    Обоснованием этого названия может служить следующая теорема:

Теорема 4.4.1. Пусть данный вектор v представлен в виде некото-
рой суммы v = u′ + w′ , где u′ ∈ U . Тогда ∥w′ ∥ ≥ ∥w∥. Равенство
достигается только при w′ = w.

    Доказательство. Если v = u + w и v = u′ + w′ , где u, u′ ∈ U ,
и (u′′ , w) = 0 для каждого u′′ ∈ U , то u + w = u′ + w′ , откуда имеем
w′ = w + (u − u′ ), причем u − u′ ∈ U . Тогда

          ∥w′ ∥2 = (w′ , w′ ) = (w + (u − u′ ), w + (u − u′ )) =
                        (w, w) + (u − u′ , w) + (w, u − u′ ) + (u − u′ , u − u′ ).

                                                        34