Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 31 стр.

Это множество называется ортогональным дополнением к подпро-
странству U .

   Еще раз напомним, что из (u, w) = 0 следует и (w, u) = 0. В унитар-
ном случае (w, u) = (u, w) = 0 = 0. Таким образом, условия (u, w) = 0 и
(w, u) = 0 эквивалентны.

Теорема 4.3.1. Пусть V — евклидово или унитарное векторное про-
странство, U — его подпространство. Тогда ортогональное допол-
нение U ⊥ также является векторным подпространством, и при этом

                                  V = U ⊕ U ⊥.

   Доказательство. Проверим для U ⊥ свойство, определяющее век-
торное подпространство. Пусть w1 , w2 ∈ U ⊥ , α1 , α2 — элементы поля.
Покажем, что α1 w1 + α2 w2 ∈ U ⊥ . Для этого возьмем произвольный век-
тор u ∈ U , и покажем, что (α1 w1 + α2 w2 , u) = 0. В самом деле,

                (α1 w1 + α2 w2 , u) = α1 (w1 , u) + α2 (w2 , u) = 0,

так как по условию (и по определению U ⊥ ) (w1 , u) = 0 и (w2 , u) = 0.
Таким образом, для вектора α1 w1 + α2 w2 выполнено условие, сформу-
лированное в определении 4.3.1. Следовательно, U ⊥ есть векторное под-
пространство.
   Чтобы установить равенство V = U ⊕ U ⊥ , воспользуемся теоре-
мой 4.2.2 из предыдущего параграфа. Выберем в U (а это конечно-
мерное пространство) какой-либо ортогональный базис u1 , . . . , um , и до-
полним его до ортогонального базиса всего пространства V векторами
um+1 , . . . , un . Положим U ′ = ⟨um+1 , . . . , un ⟩. Тогда по известному свой-
ству прямых сумм (теорема 3.1.5 из выпуска II) будем иметь V = U ⊕U ′ .
Остается показать, что U ⊥ = U ′ .


                                        31