Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Более подробно, это определитель матрицы:
A − xE
n
=
a
1,1
− x a
2,2
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
− x . . . a
2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n,1
a
n,2
. . . a
n,n
− x
Лемма 1.4.3. Для любой невырожденной n×n-матрицы B имеет мес-
то равенство: χ
A
(x) = χ
B
−1
AB
(x).
Доказательство. Обозначим определитель матрицы C через |C|.
Вспомним, что |C
1
C
2
| = |C
1
| · |C
2
|, что λE = λ(B
−1
B) = B
−1
(λE)B, и
что |B
−1
| = |B|
−1
. Поэтому
|B
−1
AB − λE| = |B
−1
AB − B
−1
(λE)B| =
|B
−1
(A − λE)B| =
|B
−1
| · |A − λE| · |B| = |A − λE|.
Определение 1.4.3. Рассмотрим линейное отображение f : V → V , и
пусть
v
1
, . . . , v
n
—
некоторый базис
V
,
а матрица
A
= (
a
i,j
)
есть матри
-
ца f в этом базисе. Многочлен χ
A
(x) называется характеристическим
многочленом линейного оператора f, и обозначается через χ
f
(x). Это
определение корректно, так как по предыдущей лемме многочлен χ
A
(x)
не зависит от выбора базиса.
Замечание. Аналогичным образом можно определить определитель
det(f) произвольного линейного оператора f как определитель матри-
цы A этого оператора в произвольно выбранном базисе. При переходе
к другому базису матрица f примет вид B
−1
AB, и определитель не из-
менится. Кроме того, так как tr(A) = tr(B
−1
AB), то можно определить
след tr(f) линейного оператора f, полагая его равным следу матрицы
36
  Более подробно, это определитель матрицы:
                                                              
                         a −x      a2,2   ...     a1,n
                       1,1                                    
                       a        a2,2 − x . . .                
                           2,1                   a2,n         
           A − xEn =       ..       ..             ..         
                            .        .    ...       .         
                                                              
                           an,1    an,2   . . . an,n − x

Лемма 1.4.3. Для любой невырожденной n×n-матрицы B имеет мес-
то равенство: χA (x) = χB −1 AB (x).

  Доказательство. Обозначим определитель матрицы C через |C|.
Вспомним, что |C1 C2 | = |C1 | · |C2 |, что λE = λ(B −1 B) = B −1 (λE)B, и
что |B −1 | = |B|−1 . Поэтому

           |B −1 AB − λE| = |B −1 AB − B −1 (λE)B| =
                                |B −1 (A − λE)B| =
                                |B −1 | · |A − λE| · |B| = |A − λE|.



Определение 1.4.3. Рассмотрим линейное отображение f : V → V , и
пусть v1 , . . . , vn — некоторый базис V , а матрица A = (ai,j ) есть матри-
ца f в этом базисе. Многочлен χA (x) называется характеристическим
многочленом линейного оператора f , и обозначается через χf (x). Это
определение корректно, так как по предыдущей лемме многочлен χA (x)
не зависит от выбора базиса.

  Замечание. Аналогичным образом можно определить определитель
det(f ) произвольного линейного оператора f как определитель матри-
цы A этого оператора в произвольно выбранном базисе. При переходе
к другому базису матрица f примет вид B −1 AB, и определитель не из-
менится. Кроме того, так как tr(A) = tr(B −1 AB), то можно определить
след tr(f ) линейного оператора f , полагая его равным следу матрицы

                                       36

Страницы