Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 35 стр.

которых существует ненулевые столбцы x со свойством Ax = λx. Соб-
ственные значения матрицы A оказываются собственными значениями
оператора f такого, что A = Mf , и наоборот.

Лемма 1.4.2. Пусть A есть некоторая n × n-матрица над полем K,
E — единичная n × n-матрица. Элемент λ ∈ K будет собственным
значением A тогда и только тогда, если матрица A − λE является
вырожденной.

  Доказательство. Утверждение следует из того, что условие Ax =
λx можно переписать в виде (A−λE)x = 0. Таким образом, собственные
векторы (столбцы), отвечающие собственному значению λ матрицы A
вместе с нулевым столбцом образуют ядро оператора f : K n → K n ,
действующего по правилу f (x) = (A − λE)x. Ненулевые собственнные
векторы существуют, таким образом, в том и только в том случае, ког-
да оператор f не является инъективным, а это возможно тогда и только
тогда, если rk(A − λE) < n, т.е. если матрица A − λE является вырож-
денной.
  Замечание. В дальнейшем, когда будут определены линейные ком-
бинации произвольных линейных операторов (а не только матриц), ста-
нет понятно, что подпространство V λ является ядром оператора f − λe,
где через e обозначен тождественный оператор (его матрица в любом
базисе является единичной).

Определение 1.4.2. Пусть A есть некоторая n × n-матрица с ком-
понентами из K. Рассмотрим многочлен χA (x), равный определителю
матрицы A − xEn . Этот многочлен называется характеристическим
многочленом матрицы A.




                                 35