Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 33 стр.

Мы уже знаем, что инъективность f равносильна равенству Ker(f ) =
{0}, что эквивалентно равенству dim(Ker(f ))        =    0. Поэтому из
dim(Ker(f )) = 0 следует n = rk(Mf ), и наоборот, из n = rk(Mf ) сле-
дует dim(Ker(f )) = 0, то есть инъективность f .
  Сюръективность f означает, что Im(f ) = W , что равносильно ра-
венству dim(Im(f )) = dim(W ) = m, или rk(Mf ) = m.

Теорема 1.3.7. Пусть f : V → V — линейный оператор, dim(V ) =
n < ∞. Для того, чтобы оператор f был биективным (т.е. изомор-
физмом), необходимо и достаточно, чтобы Ker(f ) = {0}.

  Доказательство. Если оператор f биективен, то он и инъективен.
Это влечет равенство нулю ядра оператора.
  Обратно, пусть Ker(f ) = {0}. Это значит, что отображение f инъек-
тивно. Это значит также, что dim(Ker(f )) = 0. Из равенства

                  dim(V ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f ))

теперь следует, что dim(Im(f )) = dim(V ). Но так как Im(f ) ⊆ V , то из
равенства размерностей следует Im(V ) = V . Таким образом, отображе-
ние f является также и сюръективным.



      1.4. Собственные векторы и собственные значения

Определение 1.4.1. Рассмотрим линейный оператор f : V → V . Эле-
мент λ ∈ K называется собственным значением линейного оператора
f , если существует v ∈ V , v ̸= 0, такой, что f (v) = λv. В этом случае
вектор v называется собственным вектором оператора f , отвечающим
(или соответствующим) собственному значению λ.
  В некоторых книгах собственные значения линейного оператора на-
зываются также его характеристическими числами.

                                   33