Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

в V впроизвольный вектор v, и рассмотрим вектор f(v). Этот вектор
принадлежит подпространству Im(f), и поэтому его можно выразить
через базис этого подпространства:
f(v) =
k
i=1
α
i
w
i
.
Но так как w
i
= f(v
i
) для всех i, то правую часть можно представить
в виде:
k
i=1
α
i
w
i
=
k
i=1
α
i
f(v
i
) = f(
k
i=1
α
i
v
i
).
Отсюда следует, что
f(v −
k
i=1
α
i
v
i
) = f(v) − f(
k
i=1
α
i
v
i
) = 0.
Это означает, что v −
k
i=1
α
i
v
i
∈ Ker(f). Таким образом, этот вектор
можно выразить через выбранный базис подпространства Ker(f):
v
−
k
i=1
α
i
v
i
=
n
j=k+1
α
i
v
i
.
Но тогда
v =
n
i=1
α
i
v
i
.
Остается показать, что векторы v
1
, . . . , v
n
линейно независимы. Пусть
n
i=1
λ
i
v
i
= 0.
Применим к левой и правой частям этого равенства линейное отобра-
жение f. С одной стороны, f(0) = 0. С другой стороны,
f(
n
i=1
λ
i
v
i
) = f(
k
i=1
λ
i
v
i
),
31
в V впроизвольный вектор v, и рассмотрим вектор f (v). Этот вектор
принадлежит подпространству Im(f ), и поэтому его можно выразить
через базис этого подпространства:
                                             ∑
                                             k
                                 f (v) =            αi wi .
                                              i=1

Но так как wi = f (vi ) для всех i, то правую часть можно представить
в виде:
                  ∑
                  k                  ∑
                                     k                     ∑k
                         αi wi =           αi f (vi ) = f (   αi vi ).
                  i=1                i=1                      i=1
Отсюда следует, что
                         ∑
                         k                          ∑k
                f (v −         αi vi ) = f (v) − f (   αi vi ) = 0.
                         i=1                                i=1

                           ∑
                           k
Это означает, что v −            αi vi ∈ Ker(f ). Таким образом, этот вектор
                           i=1
можно выразить через выбранный базис подпространства Ker(f ):

                                 ∑
                                 k                  ∑
                                                    n
                           v−          αi vi =              αi v i .
                                 i=1                j=k+1

Но тогда
                                            ∑
                                            n
                                     v=           αi vi .
                                            i=1
Остается показать, что векторы v1 , . . . , vn линейно независимы. Пусть
                                     ∑
                                     n
                                            λi vi = 0.
                                     i=1

Применим к левой и правой частям этого равенства линейное отобра-
жение f . С одной стороны, f (0) = 0. С другой стороны,

                            ∑n              ∑k
                          f(   λi vi ) = f (   λi vi ),
                               i=1                   i=1

                                             31

Страницы