Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

так как
n
i=k+1
λ
i
v
i
∈ Ker(f). Далее,
f(
k
i=1
λ
i
v
i
) =
k
i=1
λ
i
f(v
i
) =
k
i=1
λ
i
w
i
.
Так как векторы w
1
, . . . , w
k
линейно независимы, то λ
1
= · · · = λ
k
= 0.
Таким образом, исходная линейная зависимость сводится к равенству:
n
i=k+1
λ
i
v
i
= 0.
Но это — линейная зависимость между векторами базиса подпростран-
ства Ker(f), которые линейно независимы. Отсюда следует, что λ
k+1
=
· · · = λ
n
= 0, и это означает, что векторы v
1
, . . . , v
n
линйно независимы,
и, таким образом, являются базисом пространства V .
Но по самому пострению этого базиса, dim(V ) = n = k + (n − k),
k = dim(Im(f)), n − k = dim(Ker(f)). Отсюда следует утверждение
теоремы.
Теорема 1.3.6. Пусть f : V → W — линейное отображение, M
f
— его матрица (вычисленная относительно произвольных базисов V
и W), n = dim(V ), m = dim(W ) (так что M
f
является m × n-
матрицей). Отображение f инъективно тогда и только тогда , когда
n = rk(M
f
). Отображение f сюръективно тогда и только тогда, ког-
да m = rk(M
f
).
Доказательство. Применим предыдущую теорему (равенство
(1.3.4):
dim(V ) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
Так как dim(V ) = n, а dim(Im(f)) = rk(M
f
), получаем равенство:
n = dim(Ker(f)) + rk(M
f
).
32
            ∑
            n
так как            λi vi ∈ Ker(f ). Далее,
           i=k+1

                            ∑
                            k                 ∑
                                              k                     ∑
                                                                    k
                       f(         λi vi ) =          λi f (vi ) =         λi wi .
                            i=1               i=1                   i=1

Так как векторы w1 , . . . , wk линейно независимы, то λ1 = · · · = λk = 0.
Таким образом, исходная линейная зависимость сводится к равенству:
                                         ∑
                                         n
                                                    λi vi = 0.
                                        i=k+1

Но это — линейная зависимость между векторами базиса подпростран-
ства Ker(f ), которые линейно независимы. Отсюда следует, что λk+1 =
· · · = λn = 0, и это означает, что векторы v1 , . . . , vn линйно независимы,
и, таким образом, являются базисом пространства V .
   Но по самому пострению этого базиса, dim(V ) = n = k + (n − k),
k = dim(Im(f )), n − k = dim(Ker(f )). Отсюда следует утверждение
теоремы.

Теорема 1.3.6. Пусть f : V → W — линейное отображение, Mf
— его матрица (вычисленная относительно произвольных базисов V
и W ), n = dim(V ), m = dim(W ) (так что Mf является m × n-
матрицей). Отображение f инъективно тогда и только тогда, когда
n = rk(Mf ). Отображение f сюръективно тогда и только тогда, ког-
да m = rk(Mf ).

   Доказательство. Применим предыдущую теорему (равенство
(1.3.4):
                       dim(V ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )).

Так как dim(V ) = n, а dim(Im(f )) = rk(Mf ), получаем равенство:

                              n = dim(Ker(f )) + rk(Mf ).

                                                    32

Страницы