Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

комбинации векторов u
1
, . . . , u
k
:
u
j
=
k
∑
i=1
ξ
i,j
u
i
,
где ξ
i,j
= −γ
i,j
/γ
j,j
. Подставим полученные выражения для u
j
в равен-
ство (1.3.2), и получим:
u =
k
∑
i=1
α
i
u
i
+
n
∑
j=k+1
β
j
k
∑
i=1
ξ
i,j
u
i
=
k
∑
i=1
(α
i
+
n
∑
j=k+1
β
j
ξ
i,j
)u
i
Таким образом, каждый вектор из U выражается в виде линейной ком-
бинации векторов u
1
, . . . , u
k
. Так как эти векторы выбраны линейно
независимыми, то они образуют базис подпространства U.
5. Теперь остается только вспомнить свойство, дающее выражение
для ранга матрицы A. Ранг A равен максимальному числу линейно
независимых столбцов, то есть максимальному линейно независимо-
му подмножеству среди A
1
, . . . , A
n
. Согласно четвертому этапу дока-
зательства, это число равно размерности подпространства, порожден-
ного столбцами матрицы A. Согласно третьему этапу, эта размерность
равна dim(Im(g)), а еще раньше было показано, что на самом деле это
число равно dim(Im(f)).
Теорема 1.3.5. Пусть f : V → W — линейное отображение. Тогда
dim(V ) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) (1.3.4)
Доказательство. Сначала выберем некоторый базис w
1
, . . . , w
k
подпространства Im(f). По определению пространства Im(f), можно
найти векторы v
1
, . . . , v
k
из V , такие, что f(v
1
) = w
1
, . . . , f(v
k
) = w
k
.
Заметим, что ни один из векторов v
1
, . . . , v
k
не принадлежит ядру f.
Выберем теперь базис v
k+1
, . . . , v
n
в подпространстве Ker(f). Утверж-
дается, что векторы v
1
, . . . , v
n
образуют базис пространства V . Выберем
30
комбинации векторов u1 , . . . , uk :
                                                 ∑
                                                 k
                                      uj =             ξi,j ui ,
                                                 i=1

где ξi,j = −γi,j /γj,j . Подставим полученные выражения для uj в равен-
ство (1.3.2), и получим:

              ∑
              k               ∑
                              n            ∑
                                           k                  ∑
                                                              k              ∑
                                                                             n
         u=         αi ui +           βj         ξi,j ui =           (αi +           βj ξi,j )ui
              i=1             j=k+1        i=1                 i=1           j=k+1

Таким образом, каждый вектор из U выражается в виде линейной ком-
бинации векторов u1 , . . . , uk . Так как эти векторы выбраны линейно
независимыми, то они образуют базис подпространства U .
   5. Теперь остается только вспомнить свойство, дающее выражение
для ранга матрицы A. Ранг A равен максимальному числу линейно
независимых столбцов, то есть максимальному линейно независимо-
му подмножеству среди A1 , . . . , An . Согласно четвертому этапу дока-
зательства, это число равно размерности подпространства, порожден-
ного столбцами матрицы A. Согласно третьему этапу, эта размерность
равна dim(Im(g)), а еще раньше было показано, что на самом деле это
число равно dim(Im(f )).

Теорема 1.3.5. Пусть f : V → W — линейное отображение. Тогда

                      dim(V ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f ))                                         (1.3.4)

   Доказательство. Сначала выберем некоторый базис w1 , . . . , wk
подпространства Im(f ). По определению пространства Im(f ), можно
найти векторы v1 , . . . , vk из V , такие, что f (v1 ) = w1 , . . . , f (vk ) = wk .
Заметим, что ни один из векторов v1 , . . . , vk не принадлежит ядру f .
Выберем теперь базис vk+1 , . . . , vn в подпространстве Ker(f ). Утверж-
дается, что векторы v1 , . . . , vn образуют базис пространства V . Выберем

                                                 30

Страницы