Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 28 стр.

ется данное подпространство (это следует из самого определения ли-
нейного отображения, так как линейная комбинация векторов некото-
рого подпространства принадлежит тому же подпространству). Далее,
ограничение инъективного отображения, очевидно, также инъектив-
но. Теперь, если w ∈ Im(f ), то w = f (v) для некоторого v ∈ V , то
ψ(w) = ψ(f (v)) = g(φ(v)) ∈ Im(g). Таким образом, ограничение ψ на
подпространство Im(f ) можно рассматривать как линейное отображе-
ние из Im(f ) в Im(g). Чтобы установить его сюръективность, выберем
произвольный вектор y ∈ Im(g) ⊆ K m . Так как ψ является изомор-
физмом, то найдется вектор w ∈ W такой, что y = ψ(w). Но из того,
что y ∈ Im(g) следует, что y = g(x), x ∈ K n , а так как φ являет-
ся изоморфизмом, то x = φ(v) для некоторого вектора v ∈ V . Таким
образом, y = g(φ(v)) = ψ(f (v)) = ψ(w). Так как ψ есть инъективное
отображение, то w = f (v) ∈ Im(f ). Но это и означает, что отображение
ψ сюръективно. Итак, ψ есть линейное отображение из Im(f ) в Im(g),
инъективное и сюръективное. Следовательно, это изоморфизм.
    Изоморфные векторные пространства имеют одинаковые размернос-
ти, dim(Im(f )) = dim(Im(g)). Таким образом, все свелось к доказатель-
ству равенства dim(Im(g)) = rk(A) (напомним, что A = Mf ).
    3. Пусть A = (A1 , . . . , An ), где Ai есть i-й столбец A. Тогда Im(g) =
⟨A1 , . . . , An ⟩.
    В самом деле, пусть ei ∈ K n есть столбец, в i-й строке которого
располагается единица, а все остальные элементы равны нулю. Тогда
e1 , . . . , en является базисом пространства K n , и легко заметить, что для
каждого i имеется равенство Ai = g(ei ) = Aei . Для произвольного x ∈
                        т               ∑
                                        n
K , x = (x , . . . , x ) , получаем x =
  n
               1      n                   x e . Отсюда  i i
                                                  i=1

                              ∑
                              n                   ∑
                                                  n
                g(x) = Ax =         xi g(ei ) =         xi Ai ∈ ⟨A1 , . . . , An ⟩.
                              i=1                 i=1

                                             28