Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.3.4. Пусть f : V → W — линейное отображение, и M
f
— его матрица (вычисленная относительно произвольных базисов V
и W ). Тогда dim(Im(f)) = rk(M
f
).
Доказательство. Разобъем доказательство на следующие этапы
(некоторые из них имеют самостоятельное значение и будут использо-
ваться в дальнейшем).
1. Пусть v
1
, . . . , v
n
— базис V , w
1
, . . . , w
m
— базис W , и f(v
i
) =
m
∑
j=1
a
j,i
w
j
. Таким образом, матрица A, составленная из элементов a
j,i
есть матрица M
f
. Рассмотрим линейное отображение g : K
n
→ K
m
,
действующее по правилу g(x) = Ax, и пусть φ : V → K
n
и ψ : W → K
m
— изоморфизмы, построенные по базисам v
1
, . . . , v
n
и w
1
, . . . , w
m
так
же, как в примере 1.3.1.
Все это можно наглядно представить в виде следующего рисунка
(такие рисунки называются диаграммами):
V
f
−−→ W
φ
y
ψ
y
K
n
g
−−→ K
m
(1.3.1)
Утверждение, о котором идет речь, заключается в том, что ψf = gφ
(в этом случае говорят, что диаграмма коммутативна). В самом де-
ле, из теоремы 1.2.3 (точнее, из равенства (1.2.4)) следует, что если
v =
n
∑
i=1
x
i
v
i
∈ V , x = (x
1
, . . . , x
n
)
т
∈ K
n
, f(v) =
m
∑
j=1
y
j
w
j
∈ W , y =
(y
1
, . . . , y
m
)
т
∈ K
m
, то y = Ax. Но по построению x = φ(v), y = ψ(f(v)),
и равенство y = Ax = g(x) записывается в виде ψ(f(v)) = g(φ(v)). А
это и есть коммутативность диаграммы (1.3.1).
2. Из (1.3.1) следует, что ограничение ψ на подпространство Im(f)
является изоморфизмом между подпространствами Im(f) и Im(g).
В самом деле, ограничение линейного отображения на подпростран-
ство есть линейное отображение, областью определения которого явля-
27
Теорема 1.3.4. Пусть f : V → W — линейное отображение, и Mf
— его матрица (вычисленная относительно произвольных базисов V
и W ). Тогда dim(Im(f )) = rk(Mf ).
      Доказательство. Разобъем доказательство на следующие этапы
(некоторые из них имеют самостоятельное значение и будут использо-
ваться в дальнейшем).
      1. Пусть v1 , . . . , vn — базис V , w1 , . . . , wm — базис W , и f (vi ) =
∑
m
      aj,i wj . Таким образом, матрица A, составленная из элементов aj,i
j=1
есть матрица Mf . Рассмотрим линейное отображение g : K n → K m ,
действующее по правилу g(x) = Ax, и пусть φ : V → K n и ψ : W → K m
— изоморфизмы, построенные по базисам v1 , . . . , vn и w1 , . . . , wm так
же, как в примере 1.3.1.
      Все это можно наглядно представить в виде следующего рисунка
(такие рисунки называются диаграммами):
                                         f
                                   V −−→       W
                                              
                                   
                                  φy
                                               
                                              ψy                           (1.3.1)
                                         g
                          K n −−→ K m
Утверждение, о котором идет речь, заключается в том, что ψf = gφ
(в этом случае говорят, что диаграмма коммутативна). В самом де-
ле, из теоремы 1.2.3 (точнее, из равенства (1.2.4)) следует, что если
     ∑n
                                          т              ∑
                                                         m
v =     xi vi ∈ V , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K , f (v) =
                                              n
                                                           yj wj ∈ W , y =
        i=1                                                 j=1
(y1 , . . . , ym )т ∈ K m , то y = Ax. Но по построению x = φ(v), y = ψ(f (v)),
и равенство y = Ax = g(x) записывается в виде ψ(f (v)) = g(φ(v)). А
это и есть коммутативность диаграммы (1.3.1).
      2. Из (1.3.1) следует, что ограничение ψ на подпространство Im(f )
является изоморфизмом между подпространствами Im(f ) и Im(g).
      В самом деле, ограничение линейного отображения на подпростран-
ство есть линейное отображение, областью определения которого явля-

                                         27

Страницы