Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ничными, получаем отсюда, что
M
fg
= M
f
M
g
= E
n
, M
gf
= M
g
M
f
= E
n
.
Обратно, пусть дано линейное отображение f : V → W , и его мат-
рица A = M
f
, вычисленная с помощью базиса v
1
, . . . , v
n
пространства
V и базиса w
1
, . . . , w
m
пространства W , является квадратной (то есть
n = m) и невырожденной (то есть существует B = A
−1
). По теореме
1.2.1 найдется линейное отображение g : W → V , матрицей M
g
кото-
рого в выбранных базисах будет матрица B. При этом такое линейное
отображение g определено однозначно. Снова применяя теорему 1.2.3,
получаем равенства:
M
f
M
g
= AB = E
n
= M
fg
, M
g
M
f
= BA = E
n
= M
gf
.
Но ввиду примера 1.2.1, единичной матрице при выбранном базисе про-
странства может соответствовать только тождественное отображение.
Таким образом,
fg = 1
W
, gf = 1
V
,
и это означает, что f есть биекция, то есть изоморфизм.
Следующий пример является крайне важным.
Пример 1.3.1. Если dim(V ) = n, то V
∼
=
K
n
. Если v
1
, . . . , v
n
— не-
который упорядочнный базис V , то изоморфизм строится следующим
образом. Вектору v =
n
∑
n=1
x
i
v
i
, где x
i
∈ K, сопоставляется столбец
f(v) = (x
1
, . . . , x
n
)
т
. Изоморфизмы между V и K
n
взаимно-однозначно
соостветствуют (упорядоченным) базисам V .
Определение 1.3.2. Пусть f : V → W — линейное отображение.
Ядром f называется множество Ker(f) = {v|v ∈ V, f(v) = 0}. Обра-
зом f называется множество Im(f) = {w|w = f(v), v ∈ V }.
25
ничными, получаем отсюда, что

                Mf g = Mf Mg = En ,          Mgf = Mg Mf = En .

Обратно, пусть дано линейное отображение f : V → W , и его мат-
рица A = Mf , вычисленная с помощью базиса v1 , . . . , vn пространства
V и базиса w1 , . . . , wm пространства W , является квадратной (то есть
n = m) и невырожденной (то есть существует B = A−1 ). По теореме
1.2.1 найдется линейное отображение g : W → V , матрицей Mg кото-
рого в выбранных базисах будет матрица B. При этом такое линейное
отображение g определено однозначно. Снова применяя теорему 1.2.3,
получаем равенства:

         Mf Mg = AB = En = Mf g ,            Mg Mf = BA = En = Mgf .

Но ввиду примера 1.2.1, единичной матрице при выбранном базисе про-
странства может соответствовать только тождественное отображение.
Таким образом,
                           f g = 1W ,        gf = 1V ,

и это означает, что f есть биекция, то есть изоморфизм.
  Следующий пример является крайне важным.

Пример 1.3.1. Если dim(V ) = n, то V ∼
                                     = K n . Если v1 , . . . , vn — не-
который упорядочнный базис V , то изоморфизм строится следующим
                               ∑n
образом. Вектору v =               xi vi , где xi ∈ K, сопоставляется столбец
                               n=1
f (v) = (x , . . . , x )т . Изоморфизмы между V и K n взаимно-однозначно
          1       n

соостветствуют (упорядоченным) базисам V .

Определение 1.3.2. Пусть f : V → W — линейное отображение.
Ядром f называется множество Ker(f ) = {v|v ∈ V, f (v) = 0}. Обра-
зом f называется множество Im(f ) = {w|w = f (v), v ∈ V }.

                                        25

Страницы