Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

зависимы. Рассмотрим линейную комбинацию
n
i=1
α
i
f(v
i
) = 0. Исполь-
зуя линейность отображения f, получаем отсюда:
0 =
n
i=1
α
i
f(v
i
) = f(
n
i=1
α
i
v
i
).
Применим к левой и правой частям полученного равенства линейное
отображение g, и воспользуемся тем, что g(0) = 0 и g(f(v)) = v для
любого v ∈ V :
0 = g(0) = g(f(
n
i=1
α
i
v
i
)) =
n
i=1
α
i
v
i
.
Получена равная нулю линейная комбинация векторов v
1
, . . . , v
n
, ко-
торые линейно независимы по определению базиса. Это означает, что
α
i
= 0 для всех индексов i, 1 ≤ i ≤ n. Но тем самым показано, что произ-
вольная линейная комбинация векторов f(v
1
), . . . , f(v
n
), которая равна
нулю, является тривиальной. То есть векторы f(v
1
), . . . , f(v
n
) линейно
независимы, и поэтому являются базисом пространства W .
Обратно, пусть для базиса v
1
, . . . , v
n
пространства V векторы
f(v
1
), . . . , f(v
n
) являются базисом пространства W . Обозначим для
каждого i через w
i
базисный вектор f(v
i
). Тогда, согласно теореме 1.1.1,
существует (притом однозначно определенное) линейное отображение
g : W → V , такое, что g(w
i
) = v
i
для всех индексов i. Покажем, что f
и g — взаимно-обратные отображения. Прежде всего, по самому пост-
рению, g(w
i
) = g(f(v
i
)) = v
i
и f(g(w
i
)) = f(v
i
) = w
i
для всех i. Рас-
смотрим тождественное отображение 1
V
: V → V , которое переводит
каждый вектор v ∈ V в самого себя. Выше уже было показано, что
это линейное отображение. Но так как 1
V
(v
i
) = v
i
= g(f(v
i
)) для всех
i, то по первой части теоремы 1.1.1 получаем gf = 1
V
. Точто так же
рассмотрим тождественное отображение 1
W
: W → W , для которого
23
                                                            ∑
                                                            n
зависимы. Рассмотрим линейную комбинацию                           αi f (vi ) = 0. Исполь-
                                                            i=1
зуя линейность отображения f , получаем отсюда:
                           ∑
                           n                     ∑n
                      0=         αi f (vi ) = f (   αi vi ).
                           i=1                    i=1

Применим к левой и правой частям полученного равенства линейное
отображение g, и воспользуемся тем, что g(0) = 0 и g(f (v)) = v для
любого v ∈ V :
                                      ∑
                                      n                   ∑
                                                          n
                   0 = g(0) = g(f (          αi vi )) =         αi v i .
                                      i=1                 i=1

Получена равная нулю линейная комбинация векторов v1 , . . . , vn , ко-
торые линейно независимы по определению базиса. Это означает, что
αi = 0 для всех индексов i, 1 ≤ i ≤ n. Но тем самым показано, что произ-
вольная линейная комбинация векторов f (v1 ), . . . , f (vn ), которая равна
нулю, является тривиальной. То есть векторы f (v1 ), . . . , f (vn ) линейно
независимы, и поэтому являются базисом пространства W .
  Обратно, пусть для базиса v1 , . . . , vn пространства V векторы
f (v1 ), . . . , f (vn ) являются базисом пространства W . Обозначим для
каждого i через wi базисный вектор f (vi ). Тогда, согласно теореме 1.1.1,
существует (притом однозначно определенное) линейное отображение
g : W → V , такое, что g(wi ) = vi для всех индексов i. Покажем, что f
и g — взаимно-обратные отображения. Прежде всего, по самому пост-
рению, g(wi ) = g(f (vi )) = vi и f (g(wi )) = f (vi ) = wi для всех i. Рас-
смотрим тождественное отображение 1V : V → V , которое переводит
каждый вектор v ∈ V в самого себя. Выше уже было показано, что
это линейное отображение. Но так как 1V (vi ) = vi = g(f (vi )) для всех
i, то по первой части теоремы 1.1.1 получаем gf = 1V . Точто так же
рассмотрим тождественное отображение 1W : W → W , для которого

                                        23

Страницы