Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

gf(v
j
), и записать эти векторы через базис u
1
, . . . , u
k
. Приступим к вы-
числениям.
gf(v
j
) = g(f(v
j
)) = g(
m
i=1
a
i,j
w
i
) =
m
i=1
a
i,j
g(w
i
).
Теперь подставим вместо каждого g(w
i
) выражение
k
l=1
b
l,i
u
l
. В резуль-
тате получим:
gf(v
j
) =
m
i=1
a
i,j
(
k
l=1
b
l,i
u
l
) =
m
i=1
k
l=1
a
i,j
b
l,i
u
l
=
k
l=1
(
m
i=1
b
l,i
a
i,j
)u
l
.
Коэффициенты при базисных векторах u
l
обязательно должны быть
компонентами матрицы линейного отображения gf (виду единствен-
ности представления векторов в виде линейной комбинации элементов
базиса). Поэтому l, j- я компонента матрицы M
gf
равна
m
i=1
b
l,i
a
i,j
.
Очевидно, что это выражение является также l, j-й компонентой мат-
рицы BA. Таким образом, M
gf
= BA = M
g
M
f
.
1.3. Изоморфизмы. Ядро и образ
Лемма 1.3.1. Допустим, что линейное отображение f : V → W би-
ективно. Тогда обратное к f отображение g = f
−1
также является
линейным.
Доказательство. Пусть w
1
, w
2
∈ W , α
1
, α
2
∈ K. Необходимо по-
казать, что g(α
1
w
1
+ α
2
w
2
) = α
1
g(w
1
) + α
2
g(w
2
).
Так как отображение f биективно, то существуют v
1
, v
2
∈ V такие,
что w
1
= f(v
1
) и w
2
= f(v
2
). Тогда
α
1
w
1
+ α
2
w
2
= α
1
f(v
1
) + α
2
f(v
2
) = f(α
1
v
1
+ α
2
v
2
).
21
gf (vj ), и записать эти векторы через базис u1 , . . . , uk . Приступим к вы-
числениям.
                                                      ∑
                                                      m                   ∑
                                                                          m
             gf (vj ) = g(f (vj )) = g(                     ai,j wi ) =         ai,j g(wi ).
                                                      i=1                 i=1

                                                                                      ∑
                                                                                      k
Теперь подставим вместо каждого g(wi ) выражение                                            bl,i ul . В резуль-
                                                                                      l=1
тате получим:
                 ∑
                 m              ∑
                                k                   ∑
                                                    m ∑
                                                      k                        ∑
                                                                               k  ∑m
    gf (vj ) =         ai,j (         bl,i ul ) =               ai,j bl,i ul =   (   bl,i ai,j )ul .
                 i=1            l=1                 i=1 l=1                     l=1     i=1

Коэффициенты при базисных векторах ul обязательно должны быть
компонентами матрицы линейного отображения gf (виду единствен-
ности представления векторов в виде линейной комбинации элементов
базиса). Поэтому l, j- я компонента матрицы Mgf равна
                                               ∑
                                               m
                                                      bl,i ai,j .
                                                i=1

Очевидно, что это выражение является также l, j-й компонентой мат-
рицы BA. Таким образом, Mgf = BA = Mg Mf .



                       1.3. Изоморфизмы. Ядро и образ

Лемма 1.3.1. Допустим, что линейное отображение f : V → W би-
ективно. Тогда обратное к f отображение g = f −1 также является
линейным.

   Доказательство. Пусть w1 , w2 ∈ W , α1 , α2 ∈ K. Необходимо по-
казать, что g(α1 w1 + α2 w2 ) = α1 g(w1 ) + α2 g(w2 ).
   Так как отображение f биективно, то существуют v1 , v2 ∈ V такие,
что w1 = f (v1 ) и w2 = f (v2 ). Тогда

            α1 w1 + α2 w2 = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) = f (α1 v1 + α2 v2 ).

                                                      21

Страницы