Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Наконец, подставим вместо v
k
выражение
n
l=1
b
′
l,k
v
′
l
. Получим
f(v
′
j
) =
n
k=1
(
n
i=1
a
k,i
b
i,j
)(
n
l=1
b
′
l,k
v
′
l
) =
n
k=1
n
i=1
n
l=1
a
k,i
b
i,j
b
′
l,k
v
′
l
=
n
l=1
(
n
k=1
n
i=1
b
′
l,k
a
k,i
b
i,j
)v
′
l
.
Таким образом,
f(v
′
j
) =
n
l=1
a
′
l,j
v
′
l
=
n
l=1
(
n
k=1
n
i=1
b
′
l,k
a
k,i
b
i,j
)v
′
l
.
Приравнивая коэффициенты при каждом базисном векторе v
′
l
, получаем
набор равенств (для всех возможных l, j, 1 ≤ l, j ≤ n):
a
′
l,j
=
n
k=1
n
i=1
b
′
l,k
a
k,i
b
i,j
.
Вспоминая, как умножаются матрицы, видим, что в матричной форме
все эти равенства записываются так:
A
′
= B
′
AB = B
−1
AB.
Это и есть искомое равенство (1.2.4).
Теорема 1.2.3. Пусть даны два линейных отображения f : V → W ,
g : W → U, и базисы: v
1
, . . . , v
n
в V , w
1
, . . . , w
m
в W , u
1
, . . . , u
k
в U.
Суперпозиция линейных отображений gf также является линейным
отображением, и если M
f
, M
g
— матрицы f и g в указанных базисах,
то M
gf
= M
g
M
f
.
Доказательство. Пусть f(v
j
) =
m
i=1
a
i,j
w
i
, g(w
i
) =
k
l=1
b
l,i
u
l
. Таким
образом, M
f
= A есть матрица с компонентами a
i,j
, M
g
= B — матрица
с компонентами b
l,i
. Чтобы вычислить матрицу M
gf
, надо вычислить
20
                                                                     ∑
                                                                     n
Наконец, подставим вместо vk выражение                                     b′l,k vl′ . Получим
                                                                     l=1

                                     ∑
                                     n ∑n            ∑
                                                     n
                        f (vj′ )   =   ( ak,i bi,j )( b′l,k vl′ ) =
                                           k=1 i=1                   l=1
                                           ∑n ∑ n ∑n
                                                            ak,i bi,j b′l,k vl′ =
                                           k=1 i=1 l=1
                                           ∑n ∑ n ∑  n
                                               (            b′l,k ak,i bi,j )vl′ .
                                           l=1 k=1 i=1

Таким образом,
                                ∑
                                n                    ∑
                                                     n  ∑n ∑
                                                           n
                 f (vj′ )   =         a′l,j vl′    =   (     b′l,k ak,i bi,j )vl′ .
                                l=1                   l=1    k=1 i=1

Приравнивая коэффициенты при каждом базисном векторе vl′ , получаем
набор равенств (для всех возможных l, j, 1 ≤ l, j ≤ n):
                                               ∑
                                               n ∑
                                                 n
                                   a′l,j   =                 b′l,k ak,i bi,j .
                                               k=1 i=1

Вспоминая, как умножаются матрицы, видим, что в матричной форме
все эти равенства записываются так:

                                   A′ = B ′ AB = B −1 AB.

Это и есть искомое равенство (1.2.4).

Теорема 1.2.3. Пусть даны два линейных отображения f : V → W ,
g : W → U , и базисы: v1 , . . . , vn в V , w1 , . . . , wm в W , u1 , . . . , uk в U .
Суперпозиция линейных отображений gf также является линейным
отображением, и если Mf , Mg — матрицы f и g в указанных базисах,
то Mgf = Mg Mf .
                                                              ∑
                                                              m                          ∑
                                                                                         k
   Доказательство. Пусть f (vj ) =                                 ai,j wi , g(wi ) =          bl,i ul . Таким
                                                             i=1                         l=1
образом, Mf = A есть матрица с компонентами ai,j , Mg = B — матрица
с компонентами bl,i . Чтобы вычислить матрицу Mgf , надо вычислить

                                                       20

Страницы