Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

тим, что здесь нумерация векторов базиса имеет существенное значе-
ние). Тогда для каждого i имеют место равенства:
v
′
i
=
n
j=1
b
j,i
v
j
,
где элементы b
j,i
∈ K определены однозначно. Матрица B = (b
j,i
) на-
зывается матрицей перехода от базиса v
1
, . . . , v
n
к базису v
′
1
, . . . , v
′
n
.
Матрица B невырождена, и C = B
−1
есть матрица прехода от базиса
v
′
1
, . . . , v
′
n
к базису v
1
, . . . , v
n
.
Пусть v =
n
i=1
x
i
v
i
, v =
n
i=1
x
′
i
v
′
i
, и
x =
x
1
.
.
.
x
n
, x
′
=
x
′
1
.
.
.
x
′
n
.
Тогда x = Bx
′
.
Теорема 1.2.2. Пусть f : V → V — линейный оператор, v
1
, . . . , v
n
—
базис V , и A = M
f
— матрица f в этом базисе, т.е. f(v
j
) =
n
i=1
a
i,j
v
i
.
Если v и x имеют тот же смысл, что и выше, f(v) =
n
i=1
y
i
v
i
, y
i
∈ K,
y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
, то
y = Ax (1.2.3)
Рассмотрим другой базис v
′
1
, . . . , v
′
n
пространства V , и пусть B есть
матрица перехода от v
1
, . . . , v
n
к v
′
1
, . . . , v
′
n
. Тогда матрицей f в базисе
v
′
1
, . . . , v
′
n
будет матрица
A
′
= B
−1
AB (1.2.4)
Напомним, что матрицы A и B
−1
AB называются подобными.
Доказательство. Применим оператор f к вектору v =
n
j=1
x
j
v
j
:
f(v) = f(
n
j=1
x
j
v
j
) =
n
j=1
x
j
f(v
j
).
18
тим, что здесь нумерация векторов базиса имеет существенное значе-
ние). Тогда для каждого i имеют место равенства:
                                 ∑
                                 n
                             ′
                            vi =   bj,i vj ,
                                                     j=1

где элементы bj,i ∈ K определены однозначно. Матрица B = (bj,i ) на-
зывается матрицей перехода от базиса v1 , . . . , vn к базису v1′ , . . . , vn′ .
Матрица B невырождена, и C = B −1 есть матрица прехода от базиса
v1′ , . . . , vn′ к базису v1 , . . . , vn .
                      ∑
                      n               ∑ n
      Пусть v =         xi v i , v =       x′i vi′ , и
                     i=1               i=1
                                        
                                                                       
                                     x1                              x′1
                                    .                             . 
                                 x=  . 
                                    . ,                     x′ =   . 
                                                                    . .
                                     xn                              x′n
Тогда x = Bx′ .
Теорема 1.2.2. Пусть f : V → V — линейный оператор, v1 , . . . , vn —
                                                             ∑
                                                             n
базис V , и A = Mf — матрица f в этом базисе, т.е. f (vj ) =    ai,j vi .
                                                                                               i=1
                                                                                     ∑
                                                                                     n
Если v и x имеют тот же смысл, что и выше, f (v) =     yi vi , yi ∈ K,
                                                   i=1
y = (y , . . . , y )т , то
         1          n

                                                    y = Ax                                       (1.2.3)
Рассмотрим другой базис v1′ , . . . , vn′ пространства V , и пусть B есть
матрица перехода от v1 , . . . , vn к v1′ , . . . , vn′ . Тогда матрицей f в базисе
v1′ , . . . , vn′ будет матрица

                                              A′ = B −1 AB                                       (1.2.4)

    Напомним, что матрицы A и B −1 AB называются подобными.
                                                       ∑n
    Доказательство. Применим оператор f к вектору v =     xj vj :
                                                                                         j=1

                                             ∑
                                             n                   ∑
                                                                 n
                               f (v) = f (          xj v j ) =         xj f (vj ).
                                              j=1                j=1

                                                         18

Страницы