Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Коэффициенты при векторах базиса e
1
, . . . , e
n
в правой части этого ра-
венства образуют j-й столбец матрицы рассматриваемого линейного
отображения. Но очевидно, что это в точности j-й столбец самой мат-
рицы A. Это и означает, что матрицей линейного отображения явля-
ется матрица A.
Пример 1.2.4. Рассмотрим векторное пространство K[x]
n
, состоящее
из всех многочленов над полем K (K = Q, R, C), имеющих сте-
пень не более n. Базисом этого пространства являются многочлены
1, x, x
2
, . . . , x
n−1
. Отображение ψ : K[x]
n
→ K[x]
n
, сопоставляющее
многочлену f = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
n−1
x
n−1
его производную
ψ(f) = a
1
+ 2a
2
x · · · + (n − 1)a
n−1
x
n−2
, является линейным оператором,
имеющим в указанном выше базисе следующую матрицу:
0 1 0 . . . 0
0 0 2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . n − 1
0 0 0 . . . 0
Однако в пространстве K[x]
n
существуют и другие базисы. Одним из
таких базисов является множество: 1, x/1!, x
2
/2!, . . . , x
n−1
/(n − 1)!. В
этом базисе у того же отображения ψ матрица будет такой:
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0
Напомним некоторые факты из материала первого семестра. Пусть
v
1
, . . . , v
n
и v
′
1
, . . . , v
′
n
— два базиса векторного пространства V (заме-
17
Коэффициенты при векторах базиса e1 , . . . , en в правой части этого ра-
венства образуют j-й столбец матрицы рассматриваемого линейного
отображения. Но очевидно, что это в точности j-й столбец самой мат-
рицы A. Это и означает, что матрицей линейного отображения явля-
ется матрица A.

Пример 1.2.4. Рассмотрим векторное пространство K[x]n , состоящее
из всех многочленов над полем K (K = Q, R, C), имеющих сте-
пень не более n. Базисом этого пространства являются многочлены
1, x, x2 , . . . , xn−1 . Отображение ψ : K[x]n → K[x]n , сопоставляющее
многочлену f = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 его производную
ψ(f ) = a1 + 2a2 x · · · + (n − 1)an−1 xn−2 , является линейным оператором,
имеющим в указанном выше        базисе следующую матрицу:
                                              
                       0        1 0 ...     0
                                              
                     0         0 2 ...     0 
                                              
                      ..       .. .. . . . .. 
                      .         . .         . 
                                              
                     0         0 0 ... n − 1 
                                              
                              0 0 0 ...     0
Однако в пространстве K[x]n существуют и другие базисы. Одним из
таких базисов является множество: 1, x/1!, x2 /2!, . . . , xn−1 /(n − 1)!. В
этом базисе у того же отображения     ψ матрица будет такой:
                                                
                            0 1 0     ... 0
                                                
                         0 0 1       ... 0 
                                                
                          .. .. ..    . . . ... 
                          . . .                 
                                                
                         0 0 0       ... 1 
                                                
                                0 0 0 ... 0

   Напомним некоторые факты из материала первого семестра. Пусть
v1 , . . . , vn и v1′ , . . . , vn′ — два базиса векторного пространства V (заме-

                                       17

Страницы