Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Но f(v
j
) =
n
i=1
a
i,j
v
i
для всех j. Делая подстановку, и группируя слагае-
мые, получаем:
f(v) =
n
j=1
x
j
(
n
i=1
a
i,j
v
i
) =
n
j=1
n
i=1
x
j
a
i,j
v
i
=
n
i=1
(
n
j=1
a
i,j
x
j
)v
i
Сравнивая правую часть полученного равенства с выражением f(v) =
n
i=1
y
i
v
i
, и приравнивая кожффициенты при всех элементах базиса v
i
(так
как коэффициенты при базисных векторах в записи данного вектора
f(v) должны быть определены однозначно, то это законная операция)
получим для каждого i равенства:
y
i
=
n
j=1
a
i,j
x
j
.
Формула (1.2.3) представляет собой матричный способ записи этих по-
лученных равенств.
Пусть теперь v
1
, . . . , v
n
и v
′
1
, . . . , v
′
n
— два базиса в пространстве V ,
v
′
j
=
n
i=1
b
i,j
v
i
, v
k
=
n
l=1
b
′
l,k
v
′
l
для всех j, k, 1 ≤ j, k ≤ n. Элементы b
i,j
образуют матрицу B, элементы b
′
l,k
образуют матрицу B
′
= B
−1
.
Рассмотрим равенства f(v
′
j
) =
n
l=1
a
′
l,j
v
′
l
, и вычислим f(v
′
j
) еще одним
способом. Для этого применим оператор f к равенству v
′
j
=
n
i=1
b
i,j
v
i
:
f(v
′
j
) =
n
i=1
b
i,j
f(v
i
).
Подставляя сюда выражения f(v
i
) =
n
k=1
a
k,i
v
k
, получаем:
f(v
′
j
) =
n
i=1
b
i,j
n
k=1
a
k,i
v
k
=
n
k=1
(
n
i=1
a
k,i
b
i,j
)v
k
.
19
               ∑
               n
Но f (vj ) =         ai,j vi для всех j. Делая подстановку, и группируя слагае-
               i=1
мые, получаем:
                 ∑
                 n         ∑n             ∑
                                          n ∑
                                            n              ∑
                                                           n  ∑n
       f (v) =         xj (   ai,j vi ) =     xj ai,j vi =   (   ai,j xj )vi
                 j=1        i=1                    j=1 i=1                   i=1   j=1

Сравнивая правую часть полученного равенства с выражением f (v) =
∑n
   yi vi , и приравнивая кожффициенты при всех элементах базиса vi (так
i=1
как коэффициенты при базисных векторах в записи данного вектора
f (v) должны быть определены однозначно, то это законная операция)
получим для каждого i равенства:
                                                     ∑
                                                     n
                                             yi =          ai,j xj .
                                                     j=1

Формула (1.2.3) представляет собой матричный способ записи этих по-
лученных равенств.
    Пусть теперь v1 , . . . , vn и v1′ , . . . , vn′ — два базиса в пространстве V ,
      ∑n                ∑n
vj′ =    bi,j vi , vk =     b′l,k vl′ для всех j, k, 1 ≤ j, k ≤ n. Элементы bi,j
      i=1                   l=1
образуют матрицу B, элементы b′l,k образуют матрицу B ′ = B −1 .
                           ′
                                 ∑
                                 n
  Рассмотрим равенства f (vj ) =    a′l,j vl′ , и вычислим f (vj′ ) еще одним
                                                     l=1
                                                                                         ∑
                                                                                         n
способом. Для этого применим оператор f к равенству vj′ =                                      bi,j vi :
                                                                                         i=1

                                                     ∑
                                                     n
                                      f (vj′ )   =         bi,j f (vi ).
                                                     i=1

                                                           ∑
                                                           n
Подставляя сюда выражения f (vi ) =                              ak,i vk , получаем:
                                                           k=1

                                ∑
                                n            ∑
                                             n               ∑
                                                             n   ∑
                                                                 n
                 f (vj′ )   =         bi,j         ak,i vk =   (   ak,i bi,j )vk .
                                i=1          k=1                 k=1   i=1




                                                      19

Страницы