Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.2.2. Рассмотрим линейное отображение из примера 1.1.7. В
качества базиса C над R возьмем 1, i. Если f(z) = αz, и α = cos φ +
i sin φ, то матрица f такова:
(
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
)
Это следует из равенств:
f(1) = α · 1 = cos φ · 1 + sin φ · i,
f(i) = α · i = − sin φ · 1 + cos φ · i,
и определения матрицы линейного отображения. Коэффициенты при ба-
зисных векторах 1, i в правых частях выписанных выше равенств долж-
ны располагаться в столбцах матрицы данного линейного отображения.
Пример 1.2.3. Если в примере 1.1.8 в качестве базисов K
n
и K
m
вы-
брать стандартные базисы (см. пример 1.1.4), то матрицей линейного
отображения f, действующего из K
n
в K
m
по правилу f(x) = Ax, будет
сама матрица A. В самом деле, пусть a
i,j
— i, j-й элемент A для всех
i, j, и пусть для каждого i через e
i
обозначен столбец
0
.
.
.
1
.
.
.
0
где единица располагается в i-й строке, а во всех остальных строках
стоят нули. Тогда легко проверить, что Ae
j
— это j-й столбец матрицы
A, и он записывается в виде
Ae
j
= a
1,j
· e
1
+ a
2,j
· e
2
+ · · · + a
i,j
· e
i
+ · · · + a
n,j
· e
n
.
16
Пример 1.2.2. Рассмотрим линейное отображение из примера 1.1.7. В
качества базиса C над R возьмем 1, i. Если f (z) = αz, и α = cos φ +
i sin φ, то матрица f такова:
                           (                           )
                                  cos φ − sin φ
                                  sin φ        cos φ

Это следует из равенств:

                     f (1) = α · 1 = cos φ · 1 + sin φ · i,
                     f (i) = α · i = − sin φ · 1 + cos φ · i,

и определения матрицы линейного отображения. Коэффициенты при ба-
зисных векторах 1, i в правых частях выписанных выше равенств долж-
ны располагаться в столбцах матрицы данного линейного отображения.


Пример 1.2.3. Если в примере 1.1.8 в качестве базисов K n и K m вы-
брать стандартные базисы (см. пример 1.1.4), то матрицей линейного
отображения f , действующего из K n в K m по правилу f (x) = Ax, будет
сама матрица A. В самом деле, пусть ai,j — i, j-й элемент A для всех
i, j, и пусть для каждого i через ei обозначен столбец
                                  
                                     0
                                  . 
                                  .. 
                                  
                                  
                                 1
                                  . 
                                  .. 
                                  
                                     0

где единица располагается в i-й строке, а во всех остальных строках
стоят нули. Тогда легко проверить, что Aej — это j-й столбец матрицы
A, и он записывается в виде

         Aej = a1,j · e1 + a2,j · e2 + · · · + ai,j · ei + · · · + an,j · en .

                                          16

Страницы