Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Проверим, что построенные отображения взаимно обратны. Пусть
дано линейное отображение f : V → W , т.е. элемент множества
L(V, W ). Обозначим через A его матрицу M
f
. Вспоминая, как определя-
ется эта матрица, видим, что для каждого базисного вектора v
j
имеет-
ся равенство: f(v
j
) = h
A
(v
j
). Но тогда по теореме 1.1.1 f = h
A
. Таким
образом, суперпозиция отображений L(V, W ) → M
m,n
(K) → L(V, W ),
f 7→ M
f
= A 7→ h
A
, отображает f в f, т.е. это тождественное отобра-
жение.
С другой стороны, пусть дана матрица A. Обозначим h
A
через f, и
построим по f матрицу B = M
f
. С одной стороны, h
A
(v
j
) =
m
i=1
a
i,j
w
i
. С
другой стороны, f(v
j
) =
m
i=1
b
i,j
w
i
. Но так как h
A
= f, то h
A
(v
j
) = f(v
j
),
то
m
i=1
a
i,j
w
i
=
m
i=1
b
i,j
w
i
.
А поскольку элементы w
1
, . . . , w
m
являются базисом в W , то отсю-
да следует, что a
i,j
= b
i,j
для всех i, j. Таким образом, B = A. Это
означает, при суперпозиции отображений M
m,n
(K) → L → M
m,n
(K),
A 7→ h
A
= f 7→ M
f
, матрица A переходит сама в себя, то есть эта супер-
позиция — тождественное отображение. Это означает, что построенные
нами отображения L(V, W ) → M
m,n
(K), M
m,n
(K) → L(V, W ) являются
взаимно обратными биекциями.
Замечание. Легко заметить, что если V и W — не обязательно
совпадающие векторные пространства, то при любом выборе базисов
нулевому линейному отображению из V в W будет соответствовать ну-
левая матрица. Позднее, когда будет определена структура векторного
пространства на множестве L(V, W ), будет показано, что биекция, по-
строенная в теореме 1.2.1, сама является линейным отображением.
Если рассматривается линейный оператор f : V → V , то чаще всего
14
     Проверим, что построенные отображения взаимно обратны. Пусть
дано линейное отображение f : V → W , т.е. элемент множества
L(V, W ). Обозначим через A его матрицу Mf . Вспоминая, как определя-
ется эта матрица, видим, что для каждого базисного вектора vj имеет-
ся равенство: f (vj ) = hA (vj ). Но тогда по теореме 1.1.1 f = hA . Таким
образом, суперпозиция отображений L(V, W ) → Mm,n (K) → L(V, W ),
f 7→ Mf = A 7→ hA , отображает f в f , т.е. это тождественное отобра-
жение.
  С другой стороны, пусть дана матрица A. Обозначим hA через f , и
                                                           ∑
                                                           m
построим по f матрицу B = Mf . С одной стороны, hA (vj ) =   ai,j wi . С
                                                                        i=1
                            ∑
                            m
другой стороны, f (vj ) =         bi,j wi . Но так как hA = f , то hA (vj ) = f (vj ),
                            i=1
то
                            ∑
                            m                  ∑
                                               m
                                   ai,j wi =         bi,j wi .
                            i=1                i=1
А поскольку элементы w1 , . . . , wm являются базисом в W , то отсю-
да следует, что ai,j = bi,j для всех i, j. Таким образом, B = A. Это
означает, при суперпозиции отображений Mm,n (K) → L → Mm,n (K),
A 7→ hA = f 7→ Mf , матрица A переходит сама в себя, то есть эта супер-
позиция — тождественное отображение. Это означает, что построенные
нами отображения L(V, W ) → Mm,n (K), Mm,n (K) → L(V, W ) являются
взаимно обратными биекциями.
     Замечание. Легко заметить, что если V и W — не обязательно
совпадающие векторные пространства, то при любом выборе базисов
нулевому линейному отображению из V в W будет соответствовать ну-
левая матрица. Позднее, когда будет определена структура векторного
пространства на множестве L(V, W ), будет показано, что биекция, по-
строенная в теореме 1.2.1, сама является линейным отображением.

     Если рассматривается линейный оператор f : V → V , то чаще всего

                                          14

Страницы