Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Однако в данном случае векторы v
1
, . . . , v
n
образуют базис, и поэтому
коэффициенты λ
i
определяются по v единственно возможным образом.
Поэтому той неоднозначности, о которой говорилось в предыдущем аб-
заце, появиться не может, и формула (1.1.1) корректно определяет ото-
бражение.
Покажем, что это отображение линейно. Пусть v
′
и v
′′
— два вектора
из V , α
′
, α
′′
∈ K. Запишем v
′
и v
′′
в виде линейных комбинаций базисных
векторов:
v
′
=
n
∑
i=1
λ
′
i
v
i
, v
′′
=
n
∑
i=1
λ
′′
i
v
i
.
Тогда
α
′
v
′
+ α
′′
v
′′
=
n
∑
i=1
(α
′
λ
′
i
+ α
′′
λ
′′
i
)v
i
,
причем коэффициенты α
′
λ
′
i
+ α
′′
λ
′′
i
определяются по вектору α
′
v
′
+ α
′′
v
′′
однозначно. Согласно формуле (1.1.1),
f(α
′
v
′
+ α
′′
v
′′
) =
n
∑
i=1
(α
′
λ
′
i
+ α
′′
λ
′′
i
)u
i
,
по этой же формуле
α
′
f(v
′
) + α
′′
f(v
′′
) = α
′
n
∑
i=1
λ
′
i
u
i
+ α
′′
n
∑
i=1
λ
′′
i
u
i
.
Ясно, что правые части равны, поэтому равны и левые, то есть
f(α
′
v
′
+ α
′′
v
′′
) = α
′
f(v
′
) + α
′′
f(v
′′
).
Теорема доказана.
1.2. Матрицы линейных отображений
Допустим, что в векторном пространстве V выбран базис v
1
, . . . , v
n
, а
в векторном пространстве W выбран базис w
1
, . . . , w
m
. Пусть f : V −→
12
  Однако в данном случае векторы v1 , . . . , vn образуют базис, и поэтому
коэффициенты λi определяются по v единственно возможным образом.
Поэтому той неоднозначности, о которой говорилось в предыдущем аб-
заце, появиться не может, и формула (1.1.1) корректно определяет ото-
бражение.
  Покажем, что это отображение линейно. Пусть v ′ и v ′′ — два вектора
из V , α′ , α′′ ∈ K. Запишем v ′ и v ′′ в виде линейных комбинаций базисных
векторов:
                                     ∑
                                     n                                  ∑
                                                                        n
                           ′
                          v =                  λ′i vi ,         ′′
                                                              v =             λ′′i vi .
                                     i=1                                i=1
Тогда
                                                     ∑
                                                     n
                         ′ ′            ′′ ′′
                         αv +α v =                             (α′ λ′i + α′′ λ′′i )vi ,
                                              i=1
причем коэффициенты            α′ λ′i      ′′ ′′
                                        + α λi определяются                             по вектору α′ v ′ + α′′ v ′′
однозначно. Согласно формуле (1.1.1),
                                                          ∑
                                                          n
                          ′ ′           ′′ ′′
                    f (α v + α v ) =                             (α′ λ′i + α′′ λ′′i )ui ,
                                                          i=1

по этой же формуле
                                                              ∑
                                                              n                         ∑
                                                                                        n
                ′    ′          ′′        ′′              ′
              α f (v ) + α f (v ) = α                                λ′i ui   +α   ′′
                                                                                              λ′′i ui .
                                                              i=1                       i=1

Ясно, что правые части равны, поэтому равны и левые, то есть

                    f (α′ v ′ + α′′ v ′′ ) = α′ f (v ′ ) + α′′ f (v ′′ ).

Теорема доказана.



              1.2. Матрицы линейных отображений

  Допустим, что в векторном пространстве V выбран базис v1 , . . . , vn , а
в векторном пространстве W выбран базис w1 , . . . , wm . Пусть f : V −→

                                                          12

Страницы