Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.1.1. Пусть V и W — векторные пространства над полем
K, v
1
, . . . v
n
— базис V .
1) Пусть f, g : V −→ W — линейные отображения, и f(v
i
) = g(v
i
)
для каждого i, 1 ≤ i ≤ n. Тогда f = g.
Отметим, что тут достаточно предполагать, что вектора
v
1
, . . . , v
n
только порождают V (т.е. их линейная оболочка сов-
падает с V ), и не обязательно линейно независимы.
2) Пусть выбраны какие угодно элементы u
1
, . . . , u
n
∈ W . Тогда
существует линейное отображение f : V −→ W, такое, что
f(v
i
) = u
i
для всех i, причем такое отображение f определено
этим условием однозначно.
Отображение f из пункта 2) строится следующим образом. Пусть v ∈
V — произвольный вектор. Тогда его единственным способом можно
представить в виде v =
n
i=1
λ
i
v
i
. Коэфициенты λ
i
∈ K определяются по
v однозначно. Полагаем
f(v) =
n
i=1
λ
i
u
i
(1.1.1)
Доказательство. Докажем пункт 1). Два отображения f и g равны
по определению тогда и только тогда, если f(v) = g(v) для любого
v ∈ V . Но так как у нас есть базис v
1
, . . . , v
n
пространства V , можно
представить v в виде v =
n
i=1
α
i
v
i
, где α
i
∈ K для всех i. Вычислим f(v)
с учетом того, что f — линейное отображение:
f(v) = f(
n
i=1
α
i
v
i
) =
n
i=1
α
i
f(v
i
).
Аналогично,
g(v) =
n
i=1
α
i
g(v
i
).
10
Теорема 1.1.1. Пусть V и W — векторные пространства над полем
K, v1 , . . . vn — базис V .

 1) Пусть f, g : V −→ W — линейные отображения, и f (vi ) = g(vi )
     для каждого i, 1 ≤ i ≤ n. Тогда f = g.
     Отметим, что тут достаточно предполагать, что вектора
     v1 , . . . , vn только порождают V (т.е. их линейная оболочка сов-
     падает с V ), и не обязательно линейно независимы.

 2) Пусть выбраны какие угодно элементы u1 , . . . , un ∈ W . Тогда
     существует линейное отображение f : V −→ W , такое, что
     f (vi ) = ui для всех i, причем такое отображение f определено
     этим условием однозначно.

   Отображение f из пункта 2) строится следующим образом. Пусть v ∈
V — произвольный вектор. Тогда его единственным способом можно
                       ∑
                       n
представить в виде v =   λi vi . Коэфициенты λi ∈ K определяются по
                               i=1
v однозначно. Полагаем
                                                ∑
                                                n
                                      f (v) =          λi ui                 (1.1.1)
                                                 i=1
Доказательство. Докажем пункт 1). Два отображения f и g равны
по определению тогда и только тогда, если f (v) = g(v) для любого
v ∈ V . Но так как у нас есть базис v1 , . . . , vn пространства V , можно
                         ∑n
представить v в виде v =    αi vi , где αi ∈ K для всех i. Вычислим f (v)
                                i=1
с учетом того, что f — линейное отображение:
                                      ∑
                                      n                  ∑
                                                         n
                       f (v) = f (           αi vi ) =         αi f (vi ).
                                       i=1               i=1

Аналогично,
                                             ∑
                                             n
                                 g(v) =              αi g(vi ).
                                              i=1

                                                10

Страницы