Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 8 стр.

называется пространством столбцов высоты m. Его базис (так называ-
емый стандартный базис) состоит из столбцов ei , в которых i-я компо-
нента равна единице, а все остальные нулевые.

Определение 1.1.1. Пусть V и W — векторные пространства над
полем K. Отображение f : V −→ W называется линейным, если выпол-
нены следующие свойства:

 1. f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 );

 2. f (λv) = λf (v).

для произвольных v, v1 , v2 ∈ V , λ ∈ K.

  Все эти условия можно заменить одним: f (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 f (v1 ) +
α2 f (v2 ) для любых векторов v1 , v2 ∈ V и произвольных элементов
α1 , α2 ∈ K. Заметим, что из опредления следует f (0) = 0, f (−v) =
−f (v).
  Когда надо подчеркнуть, над каким полем определены векторные
пространства, говорят о K-линейном отображении.
  Из определения линейного отображения следует также, что
                                 ∑
                                 n                 ∑
                                                   n
                            f(         λi vi ) =         λi f (vi )
                                 i=1               i=1

для любого m ≥ 1, каких угодно векторов v1 , . . . , vn ∈ V , и любых
λ1 , . . . , λn ∈ K. Это легко доказывается индукцией по n.

Определение 1.1.2. Линейное отображение вида f : V −→ V называ-
ется линейным оператором.

  Рассмотрим несколько примеров линейных отображений.

Пример 1.1.5. Пусть V и W — любые векторные пространства. Рас-
смотрим отображение f : V → W такое, что f (v) = 0 для каждого
вектора v ∈ V . Легко проверяется, что это линейное отображение.

                                              8