Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 9 стр.

Пример 1.1.6. Пусть V — произвольное векторное пространство, α ∈
K — фиксированный элемент поля. Отображение f : V → V такое, что
f (v) = αv, будет линейным. Если взять α = 1, то получим тождествен-
ное (единичное) отображение V → V , отображающее каждый вектор в
самого себя. Оно, таким образом, тоже будет линейным.
  Если пространство V одномерно, то каждое линейное отображение
f : V → V имеет вид f (v) = αv для какого-то α ∈ K. В самом деле,
пусть e — базисный вектор V . Тогда f (e) = αe для некоторого α ∈
K, поскольку по условию (одномерность V ) каждый вектор v ∈ V (а
значит, и f (e)) имеет вид v = λe, где λ ∈ K. Элемент α определен
однозначно и не зависит от выбора базиса (это надо обосновать!). Для
произвольного v = λe теперь получаем, что

              f (v) = f (λe) = λf (e) = λαe = α(λe) = αv,

что и требовалось доказать.


Пример 1.1.7. Рассмотрим C как векторное пространство над R, и
пусть α ∈ C — фиксированный элемент. Отображение f : C → C такое,
что f (v) = αv, будет R-линейным. Если α = cos φ + i sin φ, а элементы
C представлять как векторы на плоскости, то отображение f можно
геометрически описать как поворот на угол φ против часовой стрелки.


Пример 1.1.8. Пусть V = K n , W = K m , и A — произвольная матрица
из Mm,n (K). Тогда отображение f : K n −→ K m , такое, что f (x) = Ax
(матричное умножение матрицы на столбец), будет линейным отобра-
жением.

  Следующую теорему ввиду ее важности можно назвать “Основной
теоремой о линейных отображениях”.

                                   9